Bagian 1 Soal Matematika Wajib SMA – PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

 

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

NILAI MUTLAK LINEAR SATU VARIABEL

 

Konsep Nilai Mutlak

 

Misalkan x bilangan real, |x|
dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan

—————————————————————————

—————————————————————————

Contoh

Tentukan |2x – 1|untuk x bilangan
real.

 

Jawab

Untuk x jika
x ≥ 0

        2x – 1 ≥ 0

        2x ≥ 1

        x ≥

 

Untuk x jika
x < 0

        – (2x – 1) < 0

        -2x < -1

        x <

 

Maka

 

 

Latihan

Gunakan Definisi diatas untuk menentukan nilai mutlak berikut.

a. Tentukan |x + 2| untuk x bilangan
real.

b. Tentukan |x – 3|untuk x bilangan
real.

c. Tentukan |2 x + 3| untuk x bilangan
real.

d. Tentukan |–2 x + 5| untuk x bilangan
real.

e. Tentukan   untuk x bilangan
real.

 

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

Persamaan
Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

 

Sifat

—————————————————————————

Untuk setiap a, b,
c,
dan
x bilangan
real
dengan a

0.

1.      Jika |ax
+ b|
=
c dengan
c 0,
maka salah satu sifat berikut ini berlaku.

         i.
|
ax +
b|
=
c,
untuk
x

         ii.
–(
ax +
b)
= c, untuk
x <

2.      Jika |ax
+ b|
=
c dengan
c <
0, maka tidak
ada bilangan real x yang memenuhi
persamaan

         |ax + b|
=
c.

—————————————————————————

Contoh

Tentukan nilai x (jika ada) yang memenuhi
setiap persamaan |2x – 1| = 7

 

Jawab

Pertama, kita akan mengubah bentuk |2x
1|

 

Akibatnya diperoleh 2 persamaan, yaitu
sebagai berikut.

Untuk x ,

         2x
– 1 = 7,

         2x
= 7 + 1,

         2x
= 8 atau

         x
= 4

 

Untuk x < ,

         (2x
– 1) = 7,

         –2x
+ 1 = 7,

         –2x
= 7 – 1,

         –2x
= 6 atau

         x
= –3

 

Jadi, nilai x = 4 atau x = –3
memenuhi persamaan nilai mutlak |2x – 1| = 7.

 

 

 

Contoh

Tentukan nilai x (jika ada)
yang memenuhi setiap persamaan |x + 5| = –6

 

Jawab

Jika |ax
+ b|
=
c dengan
c <
0, maka tidak
ada bilangan real x
yang memenuhi
persamaan
 |ax
+ b|
=
c maka Tidak
ada x
R yang memenuhi persamaan |x +
5| = –6

 

 

 

Latihan :

Hitunglah nilai x (jika ada) yang
memenuhi persamaan nilai mutlak berikut. Jika tidak ada nilai x yang memenuhi,
berikan alasanmu.

a)      |4 – 3x| = |–4|

b)      2|3x – 8| = 10

 

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

 

Contoh

Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan

|2x
– 1| = |x + 3|.

 

Jawab

Ubah
bentuk |2x – 1| dan |x + 3|

 

       

 

Berdasarkan
sifat persamaan, bentuk

|2x – 1| =
|x + 3|,

 

dapat
dinyatakan menjadi

|2x –1| – |x
+ 3| = 0.

 

Artinya, sesuai dengan konsep dasar
“mengurang”, kita dapat mengurang |2x – 1| dengan |x + 3| jika syarat x sama.

Sekarang, kita harus memikirkan
strategi agar |2x – 1| dan |x + 3| memiliki syarat yang sama. Syarat tersebut
kita peroleh berdasarkan garis bilangan berikut.

 

dapat disederhanakan menjadi

 

 

Akibatnya, untuk menyelesaikan
persamaan

|2x – 1| –|x + 3| = 0,

kita fokus pada tiga kemungkinan
syarat x, yaitu x ≥ ½  atau –3 ≤ x < ½
atau x < –3.

 

Kemungkinan
1, untuk x ≥ ½.

Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0

menjadi (2x – 1) – (x + 3) = 0 atau
x = 4.

Karena x ≥
½, maka x = 4 memenuhi persamaan.

 

Kemungkinan 2, untuk –3 ≤
x < ½

Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0
menjadi

–2x + 1 – (x + 3) = 0 atau x = – .

Karena –3 ≤
x < ½ maka x = –
 memenuhi persamaan.

 

Kemungkinan 3, x < –3

Persamaan |2x – 1| – |x + 3| = 0
menjadi

–2x + 1 – (–x – 3) = 0 atau x = 4.

Karena x < –3, maka tidak ada
nilai x yang memenuhi persamaan.

 

Jadi, nilai x yang memenuhi
persamaan

|2x – 1| = |x + 3| adalah x = 4 atau
x = –
.

 

Latihan soal

Tentukan
nilai x yang memenuhi persamaan

a.     
|2y + 5| = |7 – 2y|

b.     
|x – 3| + |2x – 8| = 5.

c.      
|4x – 3| = –|2x – 1|

 

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

Menggambar Grafik

—————————————————————————

 

Contoh

Gambarlah
grafik y = |x| untuk setiap x bilangan real.

 

Jawab

Kita dapat menggambar dengan
menggunakan beberapa titik bantu pada
tabel
berikut.

 

Koordinat
titik yang memenuhi y = |x|, untuk x
0

 

Koordinat
titik yang memenuhi y = |x|, untuk x < 0

 

Titik-titik yang kita peroleh pada
tabel, kemudian disajikan dalam sistem
koordinat
kartesius sebagai berikut.

 

 

 

Latihan

Gambarkan grafik bentuk nilai
mutlak berikut

a. y = |x – 2|

b. y = |x + 2|

c. y =
|2x – 1|

 

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

 

Hubungan  dan |x|

—————————————————————————

 

 = |x|

 

Contoh

Berdasarkan sifat  = |x|, maka selesaikan persoalan|2x – 1| = 7

 

  = 72

4×2 – 4x + 1 = 49

4×2 – 4x + 1 – 49 = 0

4×2 – 4x – 48 = 0

x2 – x – 12 = 0

(x – 4)(x +3) = 0

x = 4 atau x = -3

 

Latihan

Berdasarkan sifat  = |x|, maka selesaikan
persoalan
|2x – 1| = |x
+ 3|

 

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

 

LATIHAN 1

—————————————————————————

1.      Tentukanlah nilai mutlak untuk
setiap bentuk berikut ini.

         a)   |–8n|,
n bilangan asli

         b) | – 3|

         c)   ||

         d) |12
× (–3) : (2 – 5)|

         e)   |25
– 33|

         f)  

         g)
 
, n bilangan
asli

         h)
, n bilangan
asli

 

2.    Manakah
pernyataan berikut ini yang merupakan pernyataan bernilai benar? Berikan
alasanmu.

        a)
   |k| = k, untuk setiap k bilangan asli.

        b)
   |x| = x, untuk setiap x bilangan bulat.

        c)
   Jika |x| = –2, maka x = –2.

        d)
   Jika 2t – 2 > 0, maka |2t – 2| = 2t
– 2.

        e)
   Jika |x + a| = b, dengan a, b, x
bilangan real, maka nilai x yang memenuhi hanya x = b – a.

        f)
    Jika |x| = 0, maka tidak ada x
bilangan real yang memenuhi persamaan.

        g)
   Nilai mutlak semua bilangan real adalah
bilangan non negatif.

 

3.    Hitunglah
nilai x (jika ada) yang memenuhi persamaan nilai mutlak berikut. Jika tidak ada
nilai x yang memenuhi, berikan alasanmu.

        a)
   |4 – 3x| = |–4|

        b)
   2|3x – 8| = 10

        c)
   2x + |3x – 8| = –4

d)    5|2x – 3| = 2|3 – 5x|

        e)
   2x + |8 – 3x| = |x – 4|

        f)
   

 

        g)   

        h)   

 

4.   
Suatu grup musik merilis album, penjualan per minggu (dalam ribuan) dinyatakan
dengan model s(t) = –2|t – 22| + 44, t waktu (dalam minggu).

        a)
   Gambarkan grafik fungsi penjualan s(t).

        b)
   Hitunglah total penjualan album selama
44 minggu pertama.

        c)
   Dinyatakan Album Emas jika penjualan
lebih dari 500.000 copy. Hitunglah t agar dinyatakan Album Emas.

 

5.    Selesaikan
setiap persamaan nilai mutlak berikut ini.

        a)
   |2y + 5| = |7 – 2y|

        b)
   |x – 1| + |2x| + |3x + 1| = 6

        c)
   |4x – 3| = –|2x – 1|

        d)   

        e)
   –|3 – 6y| = |8 – 2y|

        f)
    |3,5x – 1,2| = |8,5x + 6|

 

6.    Selidiki
kebenaran setiap pernyataan berikut ini dan berikan alasan untuk setiap
pernyataanmu tersebut.

        a)
   Untuk setiap x, y bilangan real, |xy| =
|x|.|y|

        b)
   Untuk setiap x, y bilangan real,
, y ≠ 0

        c)
   Untuk setiap x, y bilangan real, |x –
y| = |y – x|

 

 

 

 

 

 

 

 

LATIHAN 2

—————————————————————————

1.     
Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan:

a.    
 ≤ 1

b.    
|2𝑥7|
<
5

2.     
Selesaikan persamaan: –5|x – 7| + 2 =
–13

3.     
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
  9 = 8

4.     
Tentukan penyelesaian dari persamaan: |–2x|
+ 5 = 13

5.     
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan |𝑥1| + |𝑥3| =
2

6.     
Tentukan himpunan
penyelesaian dari pertidaksamaan nilai mutlak
|3𝑥6| > |2𝑥+1|

7.     
Tentukan himpunan penyelesaian dari |2𝑥1| ≥ 5𝑥

8.     
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi |𝑥3| =
2014

9.     
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan |𝑥20| 30 =
23

10.  
Carilah harga 𝑥 yang memenuhi  = 6

11.  

12.  

13.  

14.  

15.  

16.  

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan.

This blog is kept spam free by WP-SpamFree.