Soal Matematika Wajib – Integral

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Berikut Link-link Soal-soal SMA Matematika Wajib

INTEGRAL

————————————————————————–

Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan
sebagai berikut.

=
F(x) + c

Jika f ‘(x) = xⁿ, maka f(x)
=

xⁿ⁺¹ + c, n ≠ -1 dengan c suatu konstanta.

1.
Integral Tak
Tentu

Teorema 1

Jika n bilangan
rasional dan n ≠ – 1, maka ʃ f(x)
dx =

xⁿ⁺¹ + c, dimana c suatu konstanta.

Teorema 2

Jika f fungsi
yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

∫ kf (x)dx
= k ∫ f (x)dx

Teorema 3

Jika f dan
g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

∫ ( f (x)
+ g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx

Teorema 4

Jika f dan
g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

∫ ( f (x)
– g(x))dx = ∫ f (x)dx – ∫ g(x)dx

Teorema 5

Aturan
integral substitusi

Jika u suatu
fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak
nol, maka ʃ (u(x))^r
u’(x)dx =

ⁿ⁺¹ + c, di mana c adalah konstanta dan r ≠ -1.

Teorema 6

Aturan
integral parsial

Jika u dan
v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

∫ u dv = uv
– ∫ v du

Teorema 7

Aturan
integral trigonometri

• ∫ cos x dx =
sin x + c

• ∫ sin x dx =
– cos x + c

• ∫

dx = tan x + c

di mana c adalah
konstanta

Integral
dengan Bentuk

,

, dan

Dapat dilakukan
dengan menggunakan subtisusi dengan x = a sin t, x =
a tan t , x = a sec t. Sehingga

2.
Integral Tertentu

Jika fungsi f terdefinisi
pada interval [a, b], maka

adalah integral tertentu terhadap fungsi f dari a ke
b. Pengintegralannya dituliskan sebagai berikut.

Teorema
Dasar Kalkulus

Teorema
1

Kelinearan

Jika f dan
g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu
konstanta, maka

Teorema
2

Perubahan
batas

Jika f terintegralkan
pada interval [a, b] maka:

Teorema
3

Teorema
penambahan interval

Jika f terintegralkan
pada suatu interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka

Teorema
4

Kesimetrian

a. Jika f fungsi genap, maka

b. Jika f fungsi
ganjil, maka

3.
Menentukan Luas Daerah

·
Luas Daerah di Atas Sumbu-x

L(R) =

·
Luas Daerah di Bawah Sumbu–x

L(S) =

·
Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x)
dan sumbu-x

L(T) =

·
Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

L(U)

4.
Menentukan Volume Benda Putar

·
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-x

V = π

·
Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi Sumbu-y

V = π

·
Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x)
jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

V(T)

= π

·
Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y)
jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

V(U)

= π

Latihan 1

—————————————————————————

1. Tentukan
antiturunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x)
= 2x

b. f(x)
= –3x

c. f(x)
=

d. f(x)
=

e. f(x)
= ax, untuk a bilangan real.

2. Tentukan
antiturunan dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x)
= 2x²

b. f(x)
= –3x³

c. f(x)
=

^-2

d. f(x)
=

^-6

e. f(x) = axn + m, untuk a
bilangan real dan m + n bilangan bulat, m + n

1

3. Tentukan
antiturunan dari fungsi-fungsi f(x) berikut:

a. f(x)
= x^–2

b. f(x)
= 2x^–3

c. f(x)
=

d.
f(x)
=

e.
f(x)
= 5

f.
f(x)
=

g.
f(x)
= 100

h.
f(x)
=

, dengan
a, b

R, b

0, n rasional.

4. Tentukan
antiturunan f(x) dengan memanfaatkan turunan fungsi g(x) di bawah ini!

a. Jika
f(x) = 8x³ + 4x dan g(x) = x⁴ + x²

b. Jika
f(x) =

dan g(x) = x

c. Jika
f(x) = (x + 2)³ dan g(x) = (x + 2)⁴

d. Jika
f(x) = (x – 2)^–5 dan g(x) = (x – 2)^–4.

5. Jika
gradien m suatu persamaan garis singgung terhadap fungsi f(x) memenuhi m = x² – 1. Tunjukkan dengan gambar bahwa
terdapat banyak fungsi f(x) yang memenuhi gradien
tersebut.

Latihan 2

—————————————————————————

1. Tentukan nilai dari:

5. Tentukan
nilai dari :

6. Selesaikanlah
integral berikut!

7. Tentukan
nilai y jika :

b.

2x² – 4

8. Carilah nilai f(x) jika:

a. f'(x)
= 2x – 1 dan f(0) = 3

b.
f'(x)
=

dan f(1) = 1.

9. Selesaikan
persamaan-persamaan diferensial berikut:

a.

3x²
+ 4x – 1, y = 5 di x = 2.

b.

(2x + 1)⁴, y = 6 di x = 0.

c.

-y^2x(x² + 1)⁴,
y = 1 di x = 0.

10. Tentukan
persamaan fungsi implisit F(x, y) = 0 yang melalui titik (2, – 1) dan gradien garis singgung di setiap titik (x, y) pada grafiknya
ditentukan persamaan y =

11. Tentukan
persamaan fungsi f, jika fungsi y = f(x) terdefinisi untuk x > 0 melalui titik (4, 0) dan
gradien garis singgungnya di setiap titik ditentukan
oleh persamaan f(x) =

+

.

12. Tentukan
persamaan fungsi f jika
grafik fungsi

y = f(x)
melalui titik (1, 2) dan gradien garis singgung di
setiap titiknya ditentukan oleh persamaan

y’ = 1 – 16x^–4,
x

0.

13. Sebuah
objek berjalan sepanjang suatu garis koordinat menurut percepatan a (dalam centimeter per detik) dengan kecepatan awal v₀
(dalam centimeter per detik) dan jarak s₀
(dalam centimeter). Tentukan kecepatan v beserta jarak berarah s setelah 2 detik.

a. a
= t, v₀ = 2, s₀ = 0

b. a
= (1 + t)^–3, v₀ = 4, s₀ = 6

c. a
=

, v₀ = ₀, s₀ = 10

d. a
= (1 + t)^–3, v₀ = 4, s₀ = 0

Latihan 3

—————————————————————————

1.
Proporsi dari pekerja yang mendapatkan upah antara a ribu
dan b ribu rupiah/hari adalah y =

dan dibatasi sumbu-x. Terletak
di antara a dan b yang bernilai 0 dan 6. Berapakah persentase
pekerja yang mendapatkan upah di bawah Rp1.500,00?

2.
Sebuah benda bergerak dengan laju v m/det. Pada saat t =
2 detik posisi benda berada pada jarak 30 m dari titik asal. Tentukanlah posisi
benda sebagai fungsi waktu t!

3.
Sebuah bola bergulir pada sebuah bidang datar dengan laju awal 4
m/det. Akibat gesekan dengan bidang itu, bola mengalami perlambatan 2 m/det².
Jika pada saat t = 0 posisi benda berada pada s = 0, berapa
jauhkah jarak yang ditempuh bola dari awal sampai berhenti?

4.
Ayu dan Bernard berangkat
dari tempat yang sama pada saat t = 0. Kecepatan pada waktu t adalah
v(t) dan jarak yang dijalani antara t = a dan t =
b adalah

dt. Kecepatan Ayu seperti kurva yang terlihat pada gambar di bawah
ini. Jika sin α =

. Berapakah jarak yang ditempuh mereka masing-masing pada saat
kecepatannya sama?

5.
Sekelompok bakteri dalam
suatu lingkungan hidup tertentu berkembang biak sesuai dengan perumusan

= 0,5 N. Jika jumlah
bakteri pada keadaan awal adalah 200, hitunglah jumlah bakteri setelah t =
2 detik, t = 4 detik, t = 8 detik, t = 10 detik!

(Petunjuk: Nyatakan hasil
perhitungan dalam e = 2, 71828 . . .)

Latihan 4

—————————————————————————

1.
Nilai dari

adalah . . . .

a.
12 d.
6

b.
16 e.
4

c.
10

2.
Jika f(x) = ∫ (x² – 2x + 5)
dx dan f(0) = 5, maka f(x) = . . . .

a.

x³ – x² + 5x + 5

b.

x³ – 2x² + 5x + 5

c.

x³ – 2x² + 5x + 5

d.

x³ – x² + 5x + 5

e.

x³ – x² + 5x + 5

3.
Jika b

0 dan

, maka nilai b adalah . . . .

a.
2 d.
5

b.
3 e.
6

c.
4

4.
Jika

, maka nilai p adalah . . . .

a.

d.
1

b.

e.
½

5.
Nilai dari

adalah . . . .

6.
Luas bidang yang dibatasi oleh grafik y = 6x²
– x dan sumbu-x adalah. . . .

a.

satuan luas d.

satuan luas

b.

satuan luas e.

satuan luas

c.

satuan luas

7.
Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 7 dan y =
7 – x² diputar mengelilingi sumbu-x sejauh 360°.
Volume benda yang terjadi adalah . . . .

a.
12

d. 2

b.
11

e. 2

c.
2

8.
Luas daerah terbatas di bawah ini adalah . . . .

a.

d.
2

b.

e.
1

9.
Panjang busur kurva y =

dari x = 0 sampai x = 8 adalah .
. . .

a. 18

d.
16

b. 18 e. 14

c. 16

10.
Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-y, kurva y = x²
+ 1, dan kurva y = – x² + 19 adalah . . . .

a. 3 d.
60

b. 36 e. 72

c.
54

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Aqila Course