Soal Matematika Wajib – Fungsi Invers

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Berikut Link-link Soal-soal SMA Matematika Wajib

FUNGSI INVERS

————————————————————————–

Jika fungsi f memetakan A
ke B dan dinyatakan dalam pasangan terurut f
= {(x,
y) | x ∈ A dan y ∈ B}, maka invers fungsi f (dilambangkan
f ^-1) adalah relasi yang
memetakan B ke A, dimana dalam pasangan terurut dinyatakan dengan f ^-1 = {(y,
x) | y ∈ B dan x ∈ A}.

—————————————————————————

Misalkan f^-1
adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap

x ∈ D_f dan y ∈ R_f, maka berlaku y =
f(x) jika dan hanya jika f ^-1 (y) = x.

—————————————————————————

Contoh

—————————————————————————

Salah
satu sumber penghasilan yang diperoleh klub sepak bola adalah hasil penjualan tiket penonton
jika timnya sedang bertanding. Besarnya dana yang
diperoleh bergantung kepada banyaknya penonton yang menyaksikan pertandingan tersebut. Suatu klub
memberikan informasi bahwa besar pendapatan
yang diperoleh klub dari penjualan tiket penonton mengikuti

fungsi
f(x) = 500x + 20.000, dengan x merupakan banyak
penonton yang menyaksikan
pertandingan.

a) Tentukanlah
fungsi invers pendapatan dari tiket penonton klub sepak bola tersebut.

b) Jika
dalam suatu pertandingan, klub memperoleh dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00,
berapa penonton yang menyaksikan pertandingan
tersebut?

Jawab :

Diketahui fungsi pendapatan klub
sepak bola tersebut adalah f(x) = 500x + 20.000.

a) Invers fungsi pendapatan dari tiket penonton
klub sepak bola

Untuk menentukan rumus fungsi invers
f(x) dapat dihitung sebagai berikut.

y = f(x) = 500x + 20.000

y = 500x + 20.000

500x = y – 20.000

x =

Karena x = f ^-1(y),
maka f ^-1(y) =

Karena f ^-1(y) =

, maka f ^-1(x)
=

Jadi, fungsi invers dari f(x) =
500x + 20.000 adalah

f ^-1(x) =

atau f
_-1(x) =

(x – 20.000)

b) Jika
dana hasil penjualan tiket penonton sebesar Rp 5.000.000,00, maka banyak penonton yang menyaksikan pertandingan
tersebut adalah

f ^-1(x) =

f -1(5.000.000) =

= 9.960

Jadi, penonton
yang menyaksikan pertandingan sepak bola
sebanyak 9.960 orang.

Latihan

—————————————————————————

1. Seorang pedagang kain memperoleh keuntungan
dari hasil penjualan setiap x potong kain sebesar f(x) rupiah. Nilai keuntungan
yang diperoleh mengikuti fungsi f(x) = 100x + 500, x merupakan banyak potong
kain yang terjual.

a) Jika
dalam suatu hari pedagang tersebut mampu menjual 100 potong kain, berapa
keuntungan yang diperoleh?

b) Jika
keuntungan yang diharapkan sebesar Rp500.000,00 berapa potong kain yang harus
terjual?

c) Jika
A merupakan himpunan daerah asal (domain) fungsi f(x) dan B merupakan himpunan
daerah hasil (range) fungsi f(x), gambarkanlah permasalahan butir (a) dan butir
(b) di atas.

…………………………………………………………………………..

—————————————————————————

Misalkan f sebuah fungsi bijektif
dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f , sedangkan
I(x) = x merupakan fungsi identitas. Fungsi f ^-1 merupakan fungsi
invers dari fungsi f jika dan hanya jika

(fof ^-1)(x)
= x = I(x) untuk
setiap x ∈ D_f , dan

(f^-1of)(x)
= x = I(x) untuk
setiap x ∈ R_f.

—————————————————————————

Contoh

—————————————————————————

Diketahui
fungsi f: R → R dengan f(x) = 5x +
7.

a. Tentukanlah fungsi inversnya.

b. Tentukanlah rumus fungsi komposisi (fof ^-1)(x) dan (f ^-1of)(x)

Jawab

a. Karena y = f(x), maka

y = 5x + 7

5x = y – 7

x =

Jadi, fungsi invers f(x)
= 5x + 7 adalah

f ^-1(x) =

(x –
7).

b. Rumus
fungsi komposisi (fof
^-1)(x) dan (f ^-1of)(x) ditentukan sebagai berikut.

(i) (fof ^-1)(x) =
f(f ^-1(x))

= 5(f
^-1(x)) + 7

= 5(

(x – 7)) + 7

= x –
7 + 7

= x

(ii) (f ^-1of)(x) = f ^-1(f(x))

= x

Latihan

—————————————————————————

Tentukanlah fungsi invers dari
fungsi-fungsi berikut jika ada.

a) f(x) = 2x²+ 5

b) g(x) =

c) h(x) =

…………………………………………………………………………..

————————————————————–

Jika
f dan g fungsi bijektif, maka berlaku

(gof)^-1 = (f ^-1og^-1)

—————————————————————————

Contoh

—————————————————————————

Diketahui fungsi f dan g adalah
fungsi bijektif yang ditentukan dengan f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x – 2.
Tentukanlah soal berikut.

a) (gof) dan (fog)

b) f ^-1 dan g^-1

c) (gof)^-1 dan (fog)^-1

d) (g^-1of ^-1) dan (f ^-1og^-1)

e) Hubungan antara (gof)^-1 dengan (f ^-1og^-1)

f) Hubungan antara (fog)^-1 dengan (g^-1of^-1)

Jawab

a) (gof) dan (fog)

(i) (gof) = g(f(x))

= f(x) – 2

= (2x + 5) – 2

= 2x + 3

(ii) (fog) = f(g(x))

= 2(g(x)) + 5

= 2(x – 2) + 5

= 2x – 4 + 5

= 2x + 1

b) f ^-1 dan g^-1

(i) f
-1

f(x) = 2x + 5

Karena f(x) = y, maka y = 2x + 5

2x = y – 5

x =

Dengan demikian f ^-1(x)
=

(ii) g^-1

g(x) = x – 2

Karena g(x)
= y,

maka y =
x – 2 sehingga x = y + 2

Karena g^-1(y)
= x,

maka g^-1(y)
= y + 2 sehingga g^-1(x) = x + 2

c) (gof)-1 dan (fog)^-1

(i) (gof)^-1

(gof)(x) = 2x + 3

Misalkan (gof)(x) = h(x),
sehingga h(x) = 2x + 3

Karena h(x) = y, maka y = 2x + 3,

sehingga
x =

maka (gof)^-1(x) =

(ii) (fog)^-1

(fog)(x) =2x + 1

Misalkan (fog)(x) = k(x),
sehingga k(x) = 2x + 1

Karena k(x) = y, maka y = 2x + 1,

sehingga x =

sehingga (fog)^-1(x) =

d) g^-1of
^-1 dan f ^-1og^-1

(i) g^-1of ^-1

Pada butir (b) telah ditemukan
bahwa

g^-1(x) = x + 2 dan f ^-1(x)
=

(g^-1of ^-1)(x) =
g^-1(f ^-1(x))

= (f ^-1(x))
+ 2

(ii) (f ^-1og^-1)

(f ^-1og^-1)(x) =
f ^-1(g^-1(x))

= =

e) Hubungan antara (gof)^-1 dengan (f ^-1og^-1)

Hasil perhitungan di atas menunjukkan
bahwa rumus fungsi (gof)^-1 sama dengan (f ^-1og^-1)

f) Hubungan antara (fog)^-1 dengan (g^-1of^-1)

Hasil perhitungan di atas menunjukkan
bahwa rumus fungsi (fog)^-1 sama dengan (g^-1of^-1)

Latihan

—————————————————————————

Fungsi f: R → R dan g: R → R ditentukan oleh rumus

f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x.
Tentukanlah rumus fungsi komposisi (fog)^-1(x) dan (gof)^-1(x).

…………………………………………………………………………..

Latihan

—————————————————————————

1.
Dari fungsi-fungsi berikut, tentukan f(–2), f(–1), f(0),
f(1), dan f(2). Kemudian, gambarkan grafiknya. Jika daerah
asalnya Df ={x|–2 < x< 2, xє R},
tentukan daerah hasilnya.

a. f (x)
= 3x– 1

b. f (x)
= 3 – 2x

c. f (x)
= x – 2

d. f (x)
= 4 – 2x ²

e. f (x)
= x² – 3x+2

f. f (x)
= x³– 1

……………………………………………………………………..

2.
Diketahui fungsi f (x) =

dan g (x) =

. Tentukanlah:

a. (f + g)
(2)

(-3)

c. (f – g)
( –2)

d. (f × g)
(–10)

e. f ²(4)g(–1)

f. g ²(–7)
: f (2)

……………………………………………………………………..

3.
Tentukan f ° g ° h(x) dan h ° g
° f(x) dari fungsi-fungsi berikut ini.

a. f (x) = x – 3, g(x)
= 2x + 1, dan h(x) = x² – 2

b. f (x) = 3x – 1, g(x)
= x² + 1, dan

h(x) = x²
+ 2x + 5

c. f (x) = x²
– 1, g(x) = x + 2, dan h(x) = x²
– 2

d. f (x) =

, g(x) = x²,
dan

h(x) =

……………………………………………………………………..

4.
Jumlah mobil yang diproduksi suatu pabrik selama 1 hari setelah t
jam operasi adalah n(t) = 200t – 10t²,
0 ≤ t < 10. Jika biaya produksi n mobil (dalam dolar) adalah C(n)
= 30.000 + 8.000 n, tentukan biaya C sebagai fungsi dari waktu.
Berapakah biaya memproduksi mobil selama 1 bulan?

……………………………………………………………………..

5.
Dengan menggunakan sifat f ^–1° f (x)
= x, tentukan f ^–1 (x) untuk fungsi-fungsi
berikut.

a. f (x)
= 3x + 7

b. f (x)
= (x + 2)²

c. f (x)
= (x +2) (x – 2)

d. f (x)
=

e. f (x)
=

……………………………………………………………………..

6.
Perhatikan relasi-relasi yang ditunjukkan dengan diagram panah di
bawah ini.

a. Manakah
yang merupakan fungsi?

b. Jika
relasi merupakan fungsi, tentukanlah domain, kodomain, dan rangenya.

……………………………………………………………………..

7.
Diketahui f(x) = x² – 3x +
2 dan g(x) = x – 1. Tentukan:

a. (f + g)(x) c. (f . g)(x)

b. (f – g)(x) d.

(x)

……………………………………………………………………..

8.
Diketahui f : R → R; g : R → R
dengan f(x) = 2x² + 1 dan g(x)
= x + 2. Tentukan:

a. (g ° f)(x) c. (g ° f)(1)

b. (f ° g)(x) d. (f ° g)(–2)

……………………………………………………………………..

9.
Tentukan fungsi invers dari fungsi di bawah ini.

a. f(x) = 3x +
10

b. f(x) = (x –
3)²

c. f(x) = x²
– 4x + 4

d. f(x) =

, x ≠ 1/6

……………………………………………………………………..

10.
Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g(x)
= 3x + 5. Tentukan:

a. (f ° g)^–1
(x) c. (f
° g)^–1 (1)

b. (g ° f)^–1
(x) d. (g
° f)^–1 (–2)

……………………………………………………………………..

Latihan

—————————————————————————

1.
Jika f(x) = x + 2 maka f(x²)
+ 3f(x) – (f(x))² sama dengan ….

a. –x + 4 d. –x
+ 5

b. x + 4 e. x + 5

c. –x + 2

2.
Jika f (x)=

dan

f ° g (x)
=

maka g(x – 3) adalah ….

3.
Jika h(x + 2) = x² + 2x maka
h(x) = ….

a. 2x + x² d. –x² – 2x

b. 2x – x² e. x² – 2x

c. –x² + 2x

4.
Jika f(x) = 3x² – 2x maka f(x
– 2) – 4f(2x –1) + f(2) = ….

a. 45 x²
– 50x + 4

b. 45x²
+ 50x – 4

c. 45x²
+ 50x + 4

d. –45x²–
50x + 4

e. –45x²
+ 50x + 4

5.
Fungsi berikut ini yang dapat digolongkan ke dalam fungsi
satu-satu adalah ….

a. f(x) = k, k
konstanta sebarang

b. f(x) = x + 9

c. f(x) = x² – 9x

d. f(x)
= x² – 2x + 1

e. f(x)
= x² + 2x + 1

6.
Jika f(x) = 2ax +

, g(x) = bx –

, dan C = 2a + b maka
jumlah kedua fungsi tersebut adalah ….

a. ax d. abx = 3/x

b. bx e. ax = C

c. Cx

7.
Jika f(x + y) = f(x) + f(y),
untuk semua bilangan rasional x dan y serta f(1) = 10,
maka f(2) adalah ….

a. 0

b. 5

c. 10

d. 20

e. tidak dapat
ditentukan

8.
Diketahui f(g(x)) =

dan g(x) =

maka nilai f(0) adalah ….

a. –4 d. 2

b. –2 e. 4

c. 0

9.
Fungsi f: R → R dengan f(x) = 4x
+ n

g: R → R
dengan g(x) = 3x – 10

Jika f ° g (x) =
g ° f(x) maka nilai n yang memenuhi persamaan itu
adalah ….

a. –15 d. 10

b. –10 e. 15

c. 5

10.
Jika f(x) = 5 – 2x, g(x) = x²
– 25, dan h(x) = ¼ g(f(x)) maka h–1 (x)
= ….

11.
Jika f = {(2, 4), (3, 5), (4, –1), (5, 2)

g = {(2, –3), (3, 3), (4, 2), (5, 4),
(–1, 1)}

maka f ° g = ….

a. {(1, 1), (2,
3), (3, 1), (4, 3), (5, 4)}

b. {(1, 1), (2,
3), (3, 1), (4, 3), (5, 5)}

c. {(1, 2), (2,
3), (3, 4), (4, 3), (5, 2)}

d. {(1, 2), (2,
3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)}

e. {(1, 1), (2,
3), (3, 4), (4, 5), (5, 5)}

12.
Jika suatu fungsi ditentukan sebagai himpunan pasangan berurut f
= {(1, 3), (2, 5), (4, 2), (5, 0)} maka f ^–1 = ….

a. {(3, 1), (5,
2), (2, 4), (5, 0)}

b. {(1, 3), (5,
2), (2, 4), (5, 0)}

c. {(1, 3), (2,
5), (2, 4), (5, 0)}

d. {(3, 1), (5,
2), (2, 4), (0, 5)}

e. {(3, 1), (5,
2), (4, 2), (5, 0)}

13.
Jika f = {(1, 3), (4, 5), (7, –2), (9, –4)}, g =
{(1, 4), (6, 0), (7, 3), (9,12), (10, –6)}, dan h =

maka h sama dengan ….

a. {(1,

), (7,

), (9,
)}

b. {(1,

), (7,

), (9,

)}

c. {(1,

), (7,

), (9,

)}

d. {(1,

), (7,

), (9,

)}

e. {(1,

), (7,

), (9,

)}

14.
Apabila g(x) = 3x + 1 dan g(f(x))
= 5x²+ x – 3 maka f(x) = . . . .

a. 1/3 (x²
– x – 4)

b. 1/3 (x²
– x + 4)

c. 1/3 (x²
– x – 2)

d. 1/3 (5x²
+ x + 4)

e. 1/3 (5x²
+ x – 4)

15.
Jika f(x) = 2x – 3 dan g ° f(x)
= 2x + 1 maka g(x) = ….

a. x – 4 d.
x – 6

b. x + 4 e.
2x –1

c. 2x – 3

16.
Pernyataan-pernyataan berikut benar, kecuali ….

a. (f ° f
^–1)(x) = (f ^–1 ° f )(x)

b. (f ^–1
° g^–1)(x) = (f ° g^)–1 (x)

c. jika f (x)
= x + 1 maka f ^–1(x) = x –1

d. jika f (x)
= 2x – 1 maka f ^–1 (x) = ½ (x + 1)

e. jika f (x)
= x³ maka f ^–1 (x) =

17.
Jika f (x) =

, maka f ^–1 (x)
= ….

18.
Diketahui f(x) = log x, g(x) =
2x – π, dan h(x) = sin x, f ° g ° h(x) = 0,
nilai x yang memenuhi adalah ….

19.
Fungsi berikut ini yang memiliki invers fungsi adalah ….

a. y = x²
+ 2x + 1 d. y = 5

b. y = x²
+ 5x e. y
= 2x² + 4x + 3

c. y = 2x
+ 3

20.
Jika f(x) = x + 1 dan g(x) =

, x ≠ 0 maka

(1) f ° f (x) = x
+ 2

(2) f ° g(x) =

(3) f ° f ^–1(x)
= x

(4) g ° f ^–1(x)
= x

Pernyataan yang benar adalah ….

a. 1, 2, dan 3 d. 2, 3, dan 4

b. 1 dan 3 e. 1, 2, 3 dan 4

c. 2 dan 4

21.
Jika f(x) = x dan g(x) = x²
+ 1 maka (g ° f ° f)(x) = ….

22.
Diketahui f (x) = 2x + 5 dan g(x)
=

Jika f ° g(a) =
5 maka a = ….

a. –2 d. 1

b. –1 e. 2

c. 0

23.
Fungsi berikut ini yang tidak memiliki fungsi invers adalah
….

a. y = 5x²
+ 7 d. y = ⁵log x

b. y = x³
+ 4 e. y = 2x + 10

c. y = 10 –
150x

24.
Jika f ( x ) = 2x – 3, dengan x є R
dan f ^–1 adalah fungsi invers dari f (x)
maka kedua kurva f (x) dan f ^–1(x) akan
berpotongan pada titik ….

a. (1, –3) d. (3, –3)

b. (–1, 3) e. (3, 3)

c. (–3, 3)

25.
Jika f : x → 5^2x maka f ^–1
adalah ….

a. ⁵log
2x d. y = x^m

b. ⁵log
x e. ²log 5x

c. 2x log 5

26.
Invers dari y =

dengan m konstanta sebarang adalah ….

a. y =

d. y
= x²

b. y =

e. y = x + m

c. y = mx

27.
Diketahui f = {(3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 8)} maka f ^–1(3)
adalah ….

a. 1 d. 6

b. 5 e. 8

c. 4

28.
Jika f(x) = 8^x dan g(x)
= 3x² + 4 maka f ^–1(g(x)) =
….

a. ⁸log
(3x² + 4) d. ⁸log 3x²
+ 4

b. ⁸log
(3x² – 4) e. log (3x² + 4)

c. ⁸log
3x² – 4

29.
Diketahui f(x) = 15x dan h(x) =
x³ + 4 untuk setiap x bilangan real, x ≠ 0 maka
f ^–1(h(x²) – 4) = ….

a. ¹⁵log
(x⁵ + 2) d. ¹⁵log x⁶

b. ¹⁵log
(x⁵ – 4) e. ¹⁵log x⁵

c. ¹⁵log
(x³ + 4)

30.
Jika y = f (x) = ½ x + 3, z = f
(y) =

y+ 2, w = f (z) = ¼ z + 1

maka fungsi komposisi dari x ke
w adalah ….

(x + 42) d.

(4x + 16)

(2x + 7) e.

(6x + 18)

(3x + 21)

31.
Bila f(x) = 2x³ – 6x, maka f(x
+ 1) = ….

a. x³ – 6x²
– 3 d. x³ +
x – 3

b. 2x³ – 6x²
– 4 e. x² – x
– 3

c. 2x³ – 6x²
– 4

32.
Diketahui f(x) = 3x – 6 dan g(x)
= 2x + a. Bila (f °g)(x) = (g ° f)(x)
maka a = ….

a. 5

b. 1

c. –1

d. –5

e. –6

33.
Bila f(x) = 3x² – 2 dan g(x)
=

maka (f ° g)(2) = ….

a. 32

b. 38

c. 41

d. 43

e. 46

34.
Jika diketahui f(x) = x² – 2x +
1, maka f^–1(4) adalah ……

a. 3

b. 1

c. 0

d. –1

e. –3

35.
Jika diketahui g(x) = x – 1 dan (f °g)(x)
= 2x² – 4x + 3, maka fungsi f(x) = ….

a. x – 2 d. x²
– 2x

b. x + 2 e. x²+
2x

c. x² + 2

36.
Jika f : R → R dan g : R → R
dengan f(x) = x² dan g(x) = 3x
+ 1, maka f(g(2)) = ….

a. 13

b. 25

c. 37

d. 49

e. 81

37.
Jika f(x) = x² dan (f °g)(x)
= x² – 2x + 1, maka g(3) adalah ….

a. 2

b. 4

c. 6

d. 7

e. 9

38.
Jika f(x) =

maka f^–1(x) adalah ….

39.
Misalkan f(x) = x + 2 untuk x > 0
dan g(x) = 15/x untuk x > 0. Dengan demikian (f^–1°g^–1)(x)
= 1 untuk x = ….

a. 1

b. 3

c. 5

d. 8

e. 10

40.
Jika f^–1(x) =

dan g^–1(x) =

maka (f °g)^–1(6)
= ….

a. 1

b. 2

c. 6

d. 1/6

e. 1/10

Latihan

—————————————————————————

1. Diketahui
f dan g suatu fungsi dengan rumus fungsi f(x) = 3x + 4 dan g(x) =

. Buktikanlah
bahwa

f
^-1(x) = g(x)
dan g^-1(x) = f(x).

2. Diketahui
fungsi f:
R → R dengan rumus fungsi

f(x)
= x²
– 4. Tentukanlah daerah asal fungsi f
agar fungsi f
memiliki invers dan tentukan pula rumus fungsi
inversnya untuk daerah asal yang memenuhi.

3. Untuk
mengubah satuan suhu dalam derajat Celcius (^oC) ke satuan suhu dalam
derajat Fahrenheit (^oF) ditentukan dengan rumus F =

C + 32.

a) Tentukanlah
rumus untuk mengubah satuan derajat Fahrenheit (^oF) ke satuan suhu dalam derajat Celcius
(^oC).

b) Jika
seorang anak memiliki suhu badan 86^oF, tentukanlah suhu badan anak itu jika diukur
menggunakan satuan derajat Celcius.

4. Jika f
^-1(x)
=

dan g^-1(x) =

, maka tentukanlah nilai (fog)^-1(x).

5. Diketahui
fungsi f:R → R dan
g:R → R dirumuskan
dengan f(x) =

untuk x ≠ 0 dan g(x) = x + 3.
Tentukanlah (gof(x))^-1.

6. Diketahui f(x)
= 3x-1.
Tentukanlah rumus fungsi

f ^-1(x) dan tentukan juga f ^-1(81).

7. Diketahui
fungsi f(x) = 2x
+ 3 dan

(fog) (x
+ 1) = -2x²
– 4x –
1. Tentukanlah g^-1(x)

dan
g^-1(-2)!

8. Diketahui f (x)
=

dan

(fog)(x) =

. Tentukanlah (fog)^-1(x).

9. Diketahui fungsi f(x) =

, x ≠ 0 dan f ^-1 adalah invers
fungsi f. Jika k adalah banyaknya faktor prima dari
210, tentukanlah nilai f ^-1(k).

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Aqila Course