Soal Matematika Wajib SMA – Fungsi MEMAHAMI NOTASI, DOMAIN, RANGE, DAN GRAFIK SUATU FUNGSI

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

FUNGSI

—————————————————————————

MEMAHAMI
NOTASI, DOMAIN, RANGE,

DAN
GRAFIK SUATU FUNGSI

————————————————————————–

Contoh

Daerah
Asal

Semua nilai x ≥ –2
memenuhi, sehingga daerah
asalnya adalah {x : x ≥ –2, x ϵ R }
atau x ϵ (–2, ∞).

Daerah
Hasil

Semua nilai y ≥ –6
memenuhi, sehingga daerah hasilnya
adalah {y : y ≥ –6, y ϵ R }
atau yϵ(–6, ∞).

Daerah
Asal

Semua nilai x, sehingga
daerah asalnya adalah {x |xϵR }
atau x ϵ R.

Daerah
Hasil

Nilai y yang memenuhi
adalah y ≤ 1 atau dengan
kata lain, y tidak mungkin bernilai
lebih dari satu, sehingga

daerah hasilnya adalah {y | y ≤ 1, y ϵ R } atau y ϵ (–∞, 1).

Daerah
Asal

Semua nilai x memenuhi kecuali x = 2, sehingga daerah asalnya
adalah {x | x ≠ 2, x ϵ R }.

Daerah
Hasil

Semua nilai y memenuhi
kecuali y = 1, sehingga daerah asalnya adalah {y | y ≠ 1, y ϵ R }.

Latihan 1

—————————————————————————

Tentukanlah daerah asal dan daerah
hasil fungsi yang disajikan pada grafik
berikut.

…………………………………………………………………………..

Menentukan
Domain dan range dari sebuah Fungsi

—————————————————————————

Contoh 1

————————————————————————–

Tentukan domain dan range dari x(x) =
2^x

Jawab :

Bentuk 2^x akan
terdefinisi pada semua nilai x bilangan real, jadi D_f= {x|x ϵ R}

Dan bentuk 2^x akan
bernilai positif untuk semua x bilangan real,

Jadi Rf = {y|y > 0, y ϵ R}

Untuk lebih jelasnya, perhatikan
sketsa grafik dari f(x)=2^x

$Description: D:\download chrome\b7.png$

Contoh 2

————————————————————————–

Tentukan Domain dan range untuk f(x)
= x²− 4x + 3

Jawab

Semua fungsi polinom terdefinisi di
bilangan real, termasuk fungsi kuadrat.

jadi D_f = {x|x ϵ R}

Sedangkan untuk mencari rangenya
dari fungsi kuadrat, dengan cara

(i) koefisien x² adalah 1 > 0 ,
grafiknya terbuka ke atas, sehingga mempunyai nilai minimum

(ii)

Jadi puncaknya (2,−1)

Jadi range dari fungsi f adalah R_f
= {y|y ≥ −1, y ϵ R}

Untuk lebih jelasnya, perhatikan
sketsa grafik dari

f(x) = x²− 4x + 3

$Description: D:\download chrome\b3.png$

Contoh 3

————————————————————————–

Tentukan Domain dan range untuk g(x)
=

Jawab :

Fungsi rasional (bentuk akar) akan
terdefinisi jika dalam akar bernilai non negatif,

Jadi

x² − 4x + 3 ≥ 0

(x − 3)(x − 1) ≥ 0

x = 3 atau x = 1

$Description: D:\download chrome\b3b.png$

Bandingkan dengan gambar di atas,
grafik x²− 4x + 3 ≥ 0 untuk interval 1 ≤ x ≤ 3 (contoh 2)

$Description: D:\download chrome\b3.png$

D_g = {x|x ≤ 1 atau x ≥ 3,
x ∈ R}

Pada gambar di atas, x²−
4x + 3 ≥ −1

maka

≥ 0

R_g = {y|y ≥ 0, y ∈ R}

Latihan 2

—————————————————————————

Tentukanlah daerah asal dan daerah hasil
fungsi berikut.

a. f(x) = 2x + 3

b. f(x) = x² –
2x – 8

c. f(x) = x²
–1 2 ≤ x ≤ 6

d. f(x) =

e. f(x) =

f. h(x) =

g. h(x) =

h. h(x) =

i. h(x) =

j. h(x) =

…………………………………………………………………………..

Operasi
Aljabar pada Fungsi

—————————————————————————

Jika
f suatu fungsi dengan daerah
asal D_f dan g suatu fungsi dengan daerah asal D_g,
maka pada operasi aljabar penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian
dinyatakan sebagai berikut.

1. Jumlah f dan g ditulis
f + g didefinisikan sebagai

(f
+ g)(x) = f(x) + g(x)

dengan
daerah asal

D_{f

+ g} = D_f
∩D_g.

2. Selisih
f dan g ditulis f – g didefinisikan sebagai

(f – g)(x) = f(x)
– g(x)

dengan daerah asal

D_{f – g} = D_f ∩D_g.

3. Perkalian
f dan g ditulis f × g didefinisikan sebagai

(f × g)(x) = f(x) × g(x)

dengan daerah
asal Df × g = Df ∩Dg.

4. Pembagian
f dan g ditulis didefinisikan
sebagai

dengan daerah asal

Contoh

————————————————————————–

Diketahui
fungsi f(x) = x + 3 dan g(x)= x²
– 9. Tentukanlah fungsi-fungsi berikut dan
tentukan pula daerah asalnya.

a) (f
+ g)(x)

b) (f
– g) (x)

c) (f
× g) (x)

d)
(x)

Jawab :

Daerah asal

fungsi f(x)
= x + 3 adalah Df = {x | x ∈ R }

dan daerah
asal

fungsi g(x) = x²
– 9 adalah Dg = {x | x ∈ R }.

a) (f
+ g)(x) = f(x) + g(x)

= (x + 3 ) + (x²– 9)

= x² + x –
6

Daerah asal
fungsi (f + g)(x) adalah

D_f₊_g= D_f
∩ D_g

= {x
| x ∈ R } ∩ {x
| x ∈ R }

= {x
| x ∈ R }

b)
(f – g)(x) = f(x)
– g(x)

= (x + 3) – (x²–
9)

= –x²
+ x + 12

Daerah asal fungsi (f – g)(x)
adalah

D_f_–_g= D_f
∩ D_g

= {x
| x ∈ R } ∩ {x
| x ∈ R }

= {x
| x ∈ R }

c)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)

= (x + 3) × (x²
– 9)

= x³ + 3x²
– 9x – 27

Daerah asal
fungsi (f × g)(x) adalah

D_f_x_g= D_f
∩ D_g

= {x
| x ∈ R } ∩ {x
| x ∈ R }

= {x
| x ∈ R }

= D_f
∩ D_g dan g(x) ≠ 0

= {x
| x ∈ R} ∩ {x
| x ∈ R } dan x² – 9 ≠ 0}

= {x
| x ∈ R }
dan (x + 3) (x
– 3) ≠ 0}

= {x
| x ∈ R } dan x
≠ –3, x
≠ 3}

= {x
| x ∈ R, x
≠ –3, x
≠ 3}

Latihan 3

—————————————————————————

1. Diketahui
fungsi f(x) = dan g(x)= . Tentukanlah fungsi–fungsi berikut dan tentukan pula daerah
asalnya.

a) (f
+ g)(x)

b) (f
– g) (x)

c) (f
× g) (x)

d) (x)

2. Diketahui
f(x) = x² – 3x + 2 dan g(x)
= x – 1. Tentukan:

a. (f + g)(x) c. (f . g)(x)

b. (f – g)(x) d. (x)

…………………………………………………………………………..

Fungsi Komposisi

———————————————————

Jika
f dan g fungsi serta R_f ∩D_g
≠
O, maka terdapat suatu
fungsi h dari himpunan bagian D_f ke
himpunan bagian R_g yang disebut fungsi komposisi f dan g (ditulis gof) yang ditentukan dengan

h(x) = (gof)(x) = g(f(x))

daerah
asal fungsi komposisi f dan g adalah

D_g_o_f = {x ∈ D_f
| f(x) ∈ D_g}, dengan

D_f
= daerah asal (domain) fungsi f;

D_g
= daerah asal (domain) fungsi g;

R_f
= daerah hasil (range) fungsi f;

R_g
= daerah hasil (range) fungsi g.

Contoh

————————————————————————–

Diketahui fungsi f: R → R dengan f(x) = 2x +
1 dan fungsi g: R → R dengan g(x) = x²
– 1.

(1) Apakah fungsi
komposisi (gof)(x)dan (fog)(x) terdefinisi?

(2) Tentukanlah
rumus fungsi komposisi (gof)(x) dan (fog)(x).

Jawab

f(x) = 2x
+ 1; g(x) = x² – 1

D_f
={x
| x ∈ R } = ; R_f
= {y
| y ∈ R } = R

D_g
={x
| x ∈ R } = ; R_g
= {y
| y ∈ R } = R

(1) Untuk
menentukan fungsi komposisi (gof)(x) dan (fog)(x) terdefinisi, maka dapat diketahui berdasarkan

i. Jika
R_f ∩D_g
≠ O, maka (gof)(x) terdefinisi.

{y| y∈ } ∩ {x| x∈ } = ∩ =
≠ O karena R_f
∩D_g
≠ O, maka (gof)(x) terdefinisi.

ii. Jika
Rg∩Df ≠ 0, maka (fg)(x) terdefinisi.

{y| y∈ } ∩ {x
| x∈ } = ∩ =
≠ O karena Rg∩Df ≠ O,
maka (fog)(x) terdefinisi.

(2) Rumus
fungsi komposisi (gof)(x)dan (fog)(x) ditentukan dengan

i. (gof)(x) = g(f(x))

= g(2x + 1)

= (2x + 1)2 –1

= (4x² + 4x +
1) – 1

= 4x² + 4x

ii. (fog)(x) = f(g(x))

= f(x² –
1)

= 2(x² – 1) + 1

= 2x² – 2 + 1

= 2x² –1

Dengan
demikian diperoleh

(gof)(x) = 4x²
+ 4x dan

(fog)(x) = 2x²
– 1.

Latihan 4

—————————————————————————

1. Diketahui
fungsi f: R → R dengan
f(x) = x² – 4x + 2 dan fungsi g: R → R dengan g(x)
= 3x – 7. Tentukanlah

a) (gof)(x)

b) (fog)(x)

c) (gof)(5)

d) (fog) (10)

2. Diketahui f : R → R;
g : R → R dengan f(x) = 2x²
+ 1 dan g(x) = x + 2. Tentukan:

a. (gof)(x) c. (gof)(1)

b. (fog)(x) d. (fog)(–2)

…………………………………………………………………………..

Contoh

————————————————————————–

Diketahui fungsi komposisi (gof) (x) = 18x²
+ 24x + 2 dan fungsi g(x) = 2x² – 6.

Tentukanlah rumus untuk fungsi
berikut.

a) Fungsi f(x)

b)
Fungsi komposisi (fog)(x)

Jawab

(gof) (x) = 18x²
+ 24x + 2; g(x) = 2x² – 6

a) Menentukan
fungsi f(x)

(gof) (x) = g(f(x))
= 18x² + 24x + 2

↔ 2
× f(x)² – 6 = 18x²
+ 24x + 2

↔ 2
× f(x)² = 18x²
+ 24x + 2 + 6

↔ 2
× f(x)² = 18x²
+ 24x + 8

↔ f(x)² =

↔
f(x)²
= 9x² + 12x +
4

↔
f(x)
= ±

↔
f(x)
= ±
(3x + 2)

Jadi,
ada dua fungsi f yang mungkin,

yaitu
f(x) = 3x + 2 dan f(x) = –3x – 2.

b) Menentukan
fungsi komposisi (fog)(x)

i. Untuk
f(x) = 3x + 2

(fog)(x) = f(g(x))

= 3 × g(x) + 2, karena f(x)
= 3x + 2

= 3 × (2x2 –
6) + 2

= 6x² – 18 + 2

= 6x² – 16

Jadi, fungsi
komposisi (fog)(x) = 6x²
– 16

ii. f(x) = –3x – 2

(fog)(x) = f(g(x))

= –3 × g(x) – 2, karena f(x)
= –3x – 2

= –3 × (2x²
– 6) – 2

= –6x² + 18 – 2

= –6x² + 16

Jadi, fungsi
komposisi (fog)(x) = -6x²
+ 16

Latihan 5

—————————————————————————

1. Jika f(x)
= 2x – 3 dan g ° f(x) = 2x + 1 maka g(x)
= ….

2. Diketahui
(gof)(x) = 4x²
+ 4x dan g(x) = x² – 1. Tentukanlah nilai f(x –
2).

…………………………………………………………………………..

Sifat-Sifat
Operasi Fungsi Komposisi

—————————————————————————

Diketahui
f, g, dan h suatu fungsi. Jika R_h∩D_g
≠
O; R_g_o_h∩D_f ≠ O;
R_g∩D_f
≠
O; R_h∩D_f_o_g ≠ O, maka pada operasi komposisi fungsi berlaku
sifat asosiatif, yaitu

fo(goh) = (fog)oh

—————————————————————————Diketahui f suatu fungsi
dan I merupakan fungsi identitas. Jika R_I∩D_f
≠ O, maka terdapat
sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x, sehingga berlaku
sifat identitas,
yaitu

foI = Iof = f

—————————————————————————

Contoh

———————

Diketahui fungsi f: R → R dengan f(x)
= 2x – 1, fungsi g: R → R dengan g(x) = 4x + 5, dan
fungsi h: R → R dengan
h(x) = 2x – 3.

a) Tentukanlah rumus fungsi komposisi
go(foh) dan (gof)o h.

b) Apakah
go(foh) = (gof)oh. Coba selidiki.

Jawab

——————–

a) Rumus fungsi komposisi (go(foh))(x) dan ((gof)oh)(x)

i) Misalkan
k(x) = (foh)(x)

k(x) =
f(h(x)) = 2h(x) – 1

= 2(2x – 3) – 1

= 4x – 6 – 1

= 4x – 7

(go(foh)(x)) =
(gok)(x)

= g(k(x))

= 4(k(x)) + 5

= 4(4x – 7) + 5

= 16x – 28 +5

= 16x – 23

Jadi, fungsi komposisi (go(foh)(x)) = 16x – 23

ii) Misalkan
l(x) = (gof)(x)

l(x) =
g(f(x)) = 4(f(x)) + 5

= 4(2x –
1) + 5

= 8x –
4 + 5

= 8x +
1

((gof)oh)(x) =
(loh)(x)

= l(h(x))

= 8(h(x))
+ 1

= 8(2x –
3) + 1

= 16x –
24 + 1

= 16x –
23

Jadi, rumus fungsi komposisi

((gof)oh)(x) = 16x – 23.

b) Dari
butir (a), diperoleh nilai

(go(foh)(x)) = 16x – 23 dan
((gof)oh)(x) = 16x – 23

Berdasarkan
nilai-nilai ini disimpulkan bahwa

(go(foh)(x)) = ((gof)oh)(x) = 16x – 23

Latihan 6

—————————————————————————

1. Suatu pabrik kertas berbahan dasar kayu memproduksi kertas melalui dua tahap. Tahap pertama menggunakan mesin I yang
menghasilkan bahan kertas setengah jadi, dan tahap kedua
menggunakan mesin II yang menghasilkan bahan kertas. Dalam produksinya
mesin I menghasilkan bahan setengah jadi dengan mengikuti fungsi

f(x) = 6x
– 10 dan mesin II mengikuti
fungsi

g(x) = x²
+ 12, x merupakan
banyak bahan dasar kayu dalam satuan ton.

a)
Jika
bahan dasar kayu yang tersedia untuk suatu produksi sebesar 50 ton, berapakah kertas yang dihasilkan? (Kertas dalam
satuan ton).

b)
Jika
bahan setengah jadi untuk kertas yang dihasilkan
oleh mesin I sebesar 110 ton, berapa tonkah kayu yang
sudah terpakai? Berapa banyak kertas yang dihasilkan?

…………………………………………………………………………..

2. Diketahui
fungsi f(x) = , x
≠
0 dan g(x) = Tentukan rumus fungsi berikut apabila terdefinisi dan tentukan daerah
asal dan daerah hasilnya.

a) (f
+ g)(x)

b) (f
– g) (x)

c) (f
× g) (x)

d) (x)

…………………………………………………………………………..

3. Misalkan f
fungsi yang memenuhi

= 2x
untuk setiap x
≠
0.

Tentukanlah
nilai f(2).

…………………………………………………………………………..

5. Jika f(xy)
= f(x + y)
dan f(7)
= 7. Tentukanlah nilai f(49).

…………………………………………………………………………..

6. Diketahui
fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut

f = {(1,5), (2,6), (3,–1), (4,8)}

g = {(2,–1), (1,2), (5,3), (6,7)}

Tentukanlah

a) gof

b) fog

…………………………………………………………………………..

7. Jika f fungsi yang memenuhi persamaan f(1) = 4 dan f(x+1)
= 2 f(x).

Tentukanlah f(2014).

…………………………………………………………………………..

8. Jika f(x)
= dan x2
≠
1, buktikanlah bahwa

f(–x)
=

…………………………………………………………………………..

Aqila Course

Soal Matematika Wajib SMA – Fungsi MEMAHAMI NOTASI, DOMAIN, RANGE, DAN GRAFIK SUATU FUNGSI

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan