Soal Matematika Wajib SMA – Induksi Matematika

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Berikut Link-link Soal-soal SMA Matematika Wajib

—————————————————————————

INDUKSI MATEMATIKA

————————————————————————–

Contoh

——————————————————–

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 20.

Kemudian, uji kebenaran formula yang ditemukan sedemikian sehingga berlaku untuk penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga n,
dengan n bilangan asli.

Jawab

a. Pola
yang terdapat pada, yaitu:

•
Selisih
dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1.

•
Hasil

(1
+ 20) = (2 +19) = (3 + 18) = (4 + 17) = . . .

=
(10 +11) = 21.

Artinya terdapat sebanyak 10 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan 21.

Jadi
hasil

1
+ 2 + 3 + . . . + 18 + 19 + 20 =

b. Untuk
mengetahui pola yang terdapat pada

1 + 2 + 3 + . . . + n, untuk n bilangan asli, perlu dipilih
sebarang n > 20 . Misalnya kita pilih n = 200.

Sekarang, kita akan menyelidiki apakah pola yang terdapat pada 1 +
2 + 3 + . . . + 18 + 19 + 20 berlaku
pada 1 + 2 + 3 + . . . + 198 + 199 + 200?

•
Selisih
dua bilangan yang berurutan selalu sama yaitu 1.

•
Hasil
(1 + 200) = (2 +199) = (3 + 198) = (4 + 197) = . . . = (100 +101) = 201.

•
Artinya
terdapat sebanyak 100 pasang bilangan yang jumlahnya sama dengan 201.

Jadi
hasil

1
+ 2 + 3 + . . . + 198 + 199 + 200

Dengan
demikian untuk sebarang n bilangan asli yang genap, kamu dapat menentukan
jumlah bilangan berurutan mulai dari 1 hingga n.

Latihan

—————————————————————————

Tanpa menggunakan alat bantu hitung, rancang formula yang memenuhi pola penjumlahan bilangan mulai 1 hingga 21.

Kemudian,
uji kebenaran formula yang ditemukan sedemikian sehingga berlaku untuk penjumlahan bilangan mulai dari 1 hingga n,
dengan n bilangan asli.

…………………………………………………………………………..

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan
P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

a. Langkah
Awal (Basic Step): P(1) benar.

b. Langkah
Induksi (Induction Step): Jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Contoh

——————————————————–

Gunakan
induksi matematika untuk membuktikan bahwa:

1
+ 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2ⁿ =
2ⁿ^{+ 1} – 1

untuk
setiap n bilangan bulat positif.

Jawab

a) Langkah
Awal:

Untuk
n = 0, diperoleh, 1 = 2^{0 + 1} – 1.

Jadi
P(0) benar.

b) Langkah
Induksi:

Pada langkah awal diperoleh P(0) benar, akibatnya P(1)
benar, 1 + 2 = 2^{1 + 1} – 1.

Oleh
karena itu disimpulkan bahwa, untuk n = k,

P(k)
= 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2^k
= 2^k^{+ 1} – 1.

Selanjutnya
akan ditunjukkan,

jika
P(k) benar, maka P(k + 1) juga benar.

Dari
P(k) kita peroleh,

1
+ 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2^k =
2^k^{+ 1} – 1.

Kemudian kedua ruas ditambahkan 2k + 1, akibatnya

1
+ 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2^k
+ 2^k^{+ 1}

=
2^k^{+ 1} – 1 + 2^k⁺¹

=
2.2^k^{+ 1} – 1

=
2^{(k + 1)} ^{+ 1} – 1

Diperoleh
bahwa

P(k
+ 1) = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2^k^{+ 1}

=
2^{(k + 1) + 1} – 1

adalah
benar, untuk setiap k bilangan bulat positif.

Karena

P(n) = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴
+ . . . + 2ⁿ = 2ⁿ^{+ 1} – 1
memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka
formula

P(n) = 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴
+ . . . + 2ⁿ =
2ⁿ^{+ 1} – 1 adalah benar, dengan n bilangan
bulat positif.

Latihan

—————————————————————————

1. Untuk
setiap rumusan P(n) yang diberikan, tentukan masing-masing P(n
+ 1).

…………………………………………………………………………..

2. Rancang
formula yang memenuhi setiap pola berikut ini.

a) 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n,

b) 2 + 7 + 12 + 17 + 22 + . . . + (5n – 3),

c) 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + . . . + (4n – 1),

d) 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + . . . + (3n – 2),

…………………………………………………………………………..

3. Dari
soal nomor 2, ujilah kebenaran formula yang kamu
temukan dengan menggunakan prinsip induksi
matematika.

…………………………………………………………………………..

4. gunakan
prinsip induksi matematika untuk
membuktikan kebenaran setiap formula yang diberikan. (n bilangan asli)

a. (1 . 1!) + (2 . 2!) + (3 . 3!) + .
. . + (n . n!)

=
(n + 1)! – 1.

b. 1 . 2 + 2 . 3 + 3 . 4 + . . . + n
. (n + 1) =

c. a^m.aⁿ
= a^{m + n}, untuk setiap m, n bilangan asli.

[Petunjuk:
pilih sembarang m bilangan asli]

d. Untuk
a, b bilangan real tak nol,

a + a + b + a + 2b + a + 3b +
a + 4b + . . . + a

+ (n – 1)b =

[2a
+ (n – 1)b]

e. P(n)
= n(n + 1)(n + 5)

adalah
bilangan kelipatan 3.

f. P(n) = 1² + 3² + 5² + . . .
+ (2n – 1)² =

…………………………………………………………………………..

Penerapan
Induksi Matematika pada Barisan Bilangan

Contoh

——————————————————–

Diberikan
barisan bilangan asli, 2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . .

Rancang
suatu formula untuk menghitung suku ke 1.000 barisan bilangan

tersebut.
Ujilah kebenaran formula yang diperoleh dengan menggunakan

induksi
matematika.

Jawab

kita
misalkan u_n = an + b, dengan n bilangan
asli dan a dan
b bilangan real tak nol.

jika
n = 1 maka u₁ = a.(1) + b à a
+ b = 2

jika
n = 2 maka u₃ = a.(3) + b à 3a
+ b = 16

diperoleh
a = 7 dan b = –5.

maka un =
7n – 5.

Uji kebenaran

———————————————————————-

a) Langkah
awal

u₄
= 7(4) – 5 = 23.

Kita
simpulkan bahwa P(4),

dalam
hal ini u₄ adalah benar.

b) Langkah
Induksi

Karena
P(4) = u₄ benar,

maka
P(5) = u₅ benar.

atau P(k)
= u_k = 7k – 5 adalah benar

P(k
+ 1)

P(k
+ 1) = u_{k + 1} =
7(k + 1) – 5 = 7k
+ 2

Dengan demikian, jika kita
menuliskan sebanyak

(k + 1) suku barisan bilangan asli yang mengikuti pola bertambah 7, yaitu:

2, 9, 16, 23, 30, 37, 44, 51, . . . (7k – 5), (7k + 2).

Akibatnya, suku ke (k + 1)
pola bilangan tersebut adalah u_{k + 1} = 7k + 2 = 7(k + 1) – 5.

Jadi terbukti bahwa

P(k
+ 1) = u_{k + 1} = 7(k + 1) – 5 = 7k + 2

adalah benar, dengan k adalah bilangan asli.

Dengan
demikian u_1.000 = 7(1.000) – 5 = 6.995.

Latihan

—————————————————————————

1. Buktikan
bahwa pernyataan berikut ini adalah salah.

a)
Jika
n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian
sehingga n < p < n + 6,

b)
Jika
a, b, c, d merupakan bilangan bulat positif
sedemikian sehingga a₂
+ b₂ = c₂ + d₂,

maka
a = c atau a = d.

Sertakan alasan untuk setiap jawaban yang kamu berikan.

2. Rancang
suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan.

a)
5,
13, 21, 29, 37, 45, . . ..

b)
6,
15, 30, 51, 78, 111, . . .

c)
0,
6, 16, 30, 48, 70, . . .

d)
–2,
1, 6, 13, 22, 33, . .

e)
–1,
8, 23, 44, 71, 104, . . .

Jelaskan
alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh.

3. Selidiki
kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini.

a)
3²
+ 4² = 5²

3³
+ 4³ + 5³ = 6³

b)
Untuk
setiap n bilangan asli, P(n) = n2 + 21n + 1
adalah bilangan prima.

4. Untuk
soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan
dengan menggunakan induksi matematika.

…………………………………………………………………………..

Latihan

————————————————————————-

1. Buktikan
bahwa pernyataan berikut ini adalah salah.

a) Jika
n bilangan asli, maka terdapat paling sedikit satu bilangan prima p sedemikian
sehingga n < p < n + 6,

b) Jika
a, b, c, d merupakan bilangan bulat positif
sedemikian sehingga a²
+ b² = c² + d², maka a
= c atau a = d.

Sertakan
alasan untuk setiap jawaban yang kamu berikan.

2. Rancang
suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan.

a)
5,
13, 21, 29, 37, 45, . . .

b)
6,
15, 30, 51, 78, 111, . . .

c)
0,
6, 16, 30, 48, 70, . . .

d)
–2,
1, 6, 13, 22, 33, . . .

e)
–1,
8, 23, 44, 71, 104, . . .

Jelaskan
alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh.

3. Selidiki
kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini.

a)
3²
+ 4² = 5²

3³
+ 4³ + 5³ = 6³

b)
Untuk
setiap n bilangan asli, P(n) = n² + 21n + 1 adalah bilangan prima.

4. Untuk
soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan menggunakan induksi matematika.

5. Diketahui
n

N, gunakan prinsip induksi matematika, untuk membuktikan sifat-sifat
berikut.

a)
(ab)ⁿ
= aⁿ.bⁿ,

c)
Diketahui
x₁

0, x₂

0, x3

0, . . . xn

0, maka

(x₁.
x₂ . x₃ . … .x_n)_–1 = x₁^–1
· x₂^–1
· x₃ ^–1·
. . . x_n^–1,

d)
Diketahui
x₁ > 0, x₂ > 0, x₃ > 0, . . . , x_n
> 0, maka

log
(x₁.x₂.x₃. … .x_n) = log x₁
+ log x₂ + log x₃ + . . . + log x_n,

e)
x(y₁
+ y₂ + y₃ + . . . + y_n) = xy₁ + xy₂
+ xy₃ + … + xyn.

Untuk soal nomor 6 – nomor 15,
gunakan induksi matematika untuk membuktikan setiap formula yang diberikan.

7. xⁿ
– 1 habis dibagi oleh x – 1, x

1, n bilangan asli.

8. Salah
satu faktor dari n³ + 3n² + 2n adalah 3, n bilangan asli.

9. Salah
satu faktor dari 2²ⁿ – 1 + 3²ⁿ – 1 adalah 5, n bilangan
asli.

10. 41ⁿ
– 14ⁿ adalah kelipatan 27.

11. 4007ⁿ
– 1 habis dibagi 2003, n bilangan asli.

12. 2002ⁿ⁺²
+ 2003²ⁿ + 1 habis dibagi 4005.

13. Diberikan
a > 1, buktikan aⁿ > 1, n bilangan asli.

14. Diketahui
0 < a < 1, buktikan 0 < aⁿ < 1, n bilangan bulat
positif.

15. Untuk
setiap n bilangan asli, buktikan bahwa

1
+

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Aqila Course