Soal Matematika Wajib SMA – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi

Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download

Sistem
Persamaan Linear

Tiga
Variabel (SPLTV)

—————————————————————————

Menyusun dan
Menemukan

Konsep
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

—————————————————————————

Pak Panjaitan memiliki dua hektar
sawah yang ditanami padi dan sudahsaatnya diberi pupuk. Ada tiga (3) jenis
pupuk yang harus disediakan, yaituUrea, SS, TSP. Ketiga jenis pupuk inilah yang
harus digunakan para petaniagar hasil panen padi maksimal. Harga tiap-tiap
karung pupuk berturutturutadalah Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00.
Pak Panjaitanmembutuhkan sebanyak 40 karung untuk sawah yang ditanami padi.

Pemakaian pupuk Urea 2 kali
banyaknya dari pupuk SS. Sementara dana yang disediakan Pak Panjaitan untuk
membeli pupuk adalah Rp4.020.000,00. Berapa karung untuk setiap jenis pupuk
yang harus dibeli Pak Panjaitan?

Jawab

—————————————————————————

Diketahui:

– Tiga jenis pupuk yaitu Urea, SS, TSP. Harga
per karung setiap jenis pupuk Rp75.000,00; Rp120.000,00; dan Rp150.000,00.

– Banyak pupuk yang dibutuhkan 40 karung.

– Pemakaian pupuk Urea 2 kali lebih banyak
dari pupuk SS.

– Dana yang tersedia Rp4.020.000,00.

Ditanyakan:

Banyaknya pupuk (karung) yang
diperlukan untuk tiap-tiap jenis pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan.

Misalkan:

x adalah banyak jenis pupuk Urea yang
dibutuhkan (karung)

y adalah banyak jenis pupuk SS yang
dibutuhkan (karung)

z adalah banyak jenis pupuk TSP yang
dibutuhkan (karung)

Berdasarkan informasi di atas
diperoleh hubungan-hubungan sebagai berikut.

x + y + z =
40 (2.1)

x = 2y (2.2)

75.000x +
120.000y + 150.000z = 4.020.000 (2.3)

Langkah 1

Substitusikan
Persamaan (2.2) ke dalam Persamaan (2.1), ribuan (000) dieliminasi lebih dahulu sehingga diperoleh

x = 2y
dan x
+ y
+ z
= 40

⇒ 2y + y
+ z
= 40

⇒ 3y + z
= 40

3y
+ z
= 40 (2.4)

Langkah 2

Substitusikan Persamaan (2.2) ke
dalam Persamaan (2.3), sehingga diperoleh

x = 2y dan 75x + 120y + 150z = 4.020

⇒ 75(2y) + 120y + 150z =
4.020

⇒ 270y + 150z = 4.020

27y + 15z =
402 (2.5)

Gunakan metode eliminasi terhadap Persamaan
(2.4) dan Persamaan (2.5).

Jadi, 18y = 198 atau

y = 11

dan diperoleh

x = 2y = 2(11) = 22

maka x + y +
z = 40

22 + 11 + z
= 40

z = 40 – 33
= 7

Jadi, nilai x = 22, y = 11, dan z =
7 atau banyak pupuk yang harus dibeli Pak Panjaitan dengan uang yang tersedia
adalah 22 karung Urea, 11 karung SS, dan

7 karung
pupuk TSP.

Latihan 1

—————————————————————————

Harga tiket suatu pertunjukkan
adalah Rp60.000,00 untuk dewasa,Rp35.000,00 untuk pelajar, dan Rp25.000,00
untuk anak di bawah 12 tahun.

Pada pertunjukkan seni dan budaya
telah terjual 278 tiket dengan totalpenerimaan Rp130.000.000,00. Jika banyak
tiket untuk dewasa yang telahterjual 10 tiket lebih sedikit dari dua kali
banyak tiket pelajar yang terjual. Hitung banyak tiket yang terjual untuk
masing-masing tiket.

………………………………………………………………………………

Latihan 2

—————————————————————————

1. Apakah persamaan-persamaan berikut ini
membentuk sistem persamaan linear tiga variabel? Berikan alasan atas jawabanmu.

a. 2x + 5y – 2z = 7 dan 2x – 4y + 3z = 3

b. x – 2y + 3z = 0 dan y = 1 dan x + 5z
= 8

………………………………………………………………………..

2. Keliling suatu segitiga adalah 19 cm. Jika
panjang sisi terpanjang adalah dua kali panjang sisi terpendek dan kurang 3 cm
dari jumlah sisi lainnya.

Tentukan panjang setiap sisi-sisi
segitiga tersebut.

………………………………………………………………………..

3. Seekor ikan mas memiliki ekor yang panjangnya
sama dengan panjang kepalanya ditambah tiga perlima panjang tubuhnya. Panjang
tubuhnya tiga perlima dari panjang keseluruhan ikan. Jika panjang kepala ikan
mas adalah 5 cm, berapa panjang keseluruhan ikan tersebut?

………………………………………………………………………..

4. Temukan bilangan-bilangan positif yang
memenuhi persamaan x + y + z = 9 dan x + 5y + 10z = 44.

………………………………………………………………………..

5. Diketahui sistem persamaan linear berikut.

Berapakah nilai t agar sistem tersebut

(a) tidak memiliki penyelesaian,

(b) satu penyelesaian,

………………………………………………………………………..

8. Untuk suatu alasan, tiga pelajar Anna, Bob,
dan Chris mengukur berat badan secara berpasangan. Berat badan Anna dan Bob 226
kg, Bob dan Chris 210 kg, serta Anna dan Chris 200kg. Hitung berat badan setiap
pelajar tersebut.

………………………………………………………………………..

9. Diketahui sistem persamaan sebagai berikut.

Carilah nilai dari a² + b²
– c².

………………………………………………………………………..

10. Didefinisikan fungsi f(x) = ax² + bx
+ c (dikenal sebagai parabola) melalui titik (–1, –2), (1, 0), dan (2, 7).

a) Tentukan
nilai a, b, dan c.

b) Pilih
tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan
(x₃, y₃) sedemikian sehingga memenuhi persamaan fungsi
f(x) = ax² + bx + c. Mungkinkah ada persamaan parabola yang lain dan
melalui (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃,
y₃)? Berikan alasan untuk jawaban yang kamu berikan.

………………………………………………………………………..

—————————————————————————

Penyelesaian
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

—————————————————————————

Jumlah tiga bilangan sama dengan 45.
Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan bilangan kedua, dan bilangan ketiga
dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan
tersebut.

Cara 1

—————————————-
dengan eliminasi dan substitusi

Misalkan

x = bilangan pertama

y = bilangan kedua

z = bilangan ketiga

Berdasarkan informasi pada soal
diperoleh persamaan sebagai berikut.

x + y + z = 45 (2.16)

x + 4 = y (2.17)

z – 17 = x (2.18)

Kamu dapat melakukan proses
eliminasi pada persamaan (2.16) dan (2.17), sehingga diperoleh

Diperoleh persamaan baru, 2x + z =
41 (2.19)

Lakukan proses eliminasi pada
persamaan (2.18) dan (2.19), sehingga diperoleh

Diperoleh
3x = 24 atau x = atau x = 8.

Lakukan
proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2.17) diperoleh

(8)
+ 4 = y

⇒ y
= 12

Substitusikan
x = 8 ke persamaan (2.18) diperoleh

z
– 17 = (8)

⇒ z
= 25

Dengan demikian, bilangan x = 8,
bilangan y = 12, dan bilangan z = 25.

Cara 2

—————————————-
menggunakan rumus

x
+ y + z = 40

x
= 2y

75x
+ 120y + 150z = 4.020

Bentuk umum
sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah

maka dapat di tentukan

a₁
= 1 a₂
= 1 a₃
= 75

b₁
= 1 b₂
= –2 b₃
= 120

c₁
= 1 c₂
= 0 c₃
= 150

d₁
= 40 d₂
= 0 d₃
= 4.020

untuk menentukan x gunakan rumus
berikut

maka

untuk menentukan y gunakan rumus
berikut

maka

untuk menentukan z gunakan rumus
berikut

maka

Latihan 3

—————————————————————————

1. Tiga
tukang cat, Joni, Deni dan Ari yang biasa bekerja secara bersama-sama. Mereka
dapat mengecat eksterior (bagian luar) sebuah rumah dalam waktu 10 jam kerja.
Pengalaman Deni dan Ari pernah bersamasama mengecat rumah yang serupa dalam
waktu 15 jam kerja. Suatu hari, ketiga tukang cat ini bekerja mengecat rumah
serupa selama 4 jam kerja.

Setelah itu, Ari pergi karena ada
suatu keperluan mendadak. Joni dan Deni memerlukan tambahan waktu 8 jam kerja
lagi untuk menyelesaikan pengecatan rumah. Tentukan waktu yang dibutuhkan
masing-masing tukang cat, jika masing-masing bekerja sendirian.

………………………………………………………………………..

2. Sebuah
bilangan terdiri atas tiga angka yang jumlahnya 9. Angka satuannya tiga lebih
daripada angka puluhan. Jika angka ratusan dan angka puluhan ditukar letaknya,
maka diperoleh bilangan yang sama. Tentukan bilangan tersebut.

………………………………………………………………………..

3. Sebuah
pabrik lensa memiliki 3 buah mesin, yaitu A, B, dan C. Jika ketiganya bekerja
maka 5.700 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu.

Jika hanya mesin A dan B yang
bekerja, maka 3.400 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu. Jika hanya mesin
A dan C yang bekerja, maka 4.200 lensa dapat dihasilkan dalam satu minggu.
Berapa banyak lensa yang dihasilkan tiap-tiap mesin dalam satu minggu?

………………………………………………………………………..

4. Selesaikan
sistem persamaan yang diketahui dan tentukan nilai yang dicari.

a.
x, y, dan z adalah penyelesaian dari
sistem persamaan

3x
+ 4y – 5z = 12

2x
+ 5y – z = 17

6x
+ 2y – 3z = 17

Tentukan
nilai x² + y² + z²

b.
x,
y, dan z adalah penyelesaian dari sistem persamaan

x + 2y = –4

2x + z = 5

y – 3z = –6

Tentukan
nilai x, y, z

………………………………………………………………………..

6. Setiap
simbol pada gambar di atas mewakili sebuah bilangan. Jumlah bilangan pada
setiap baris terdapat di kolom kanan dan jumlah bilangan setiap kolom terdapat
di baris bawah. Tentukan bilangan pengganti tanda tanya.

………………………………………………………………………..

7. Trisna
bersama ayahnya dan kakeknya sedang memanen tomat di ladang mereka. Pekerjaan
memanen tomat itu dapat diselesaikan mereka dalam waktu 4 jam. Jika Trisna
bersama kakeknya bekerja bersama-sama, hanya dapat menyelesaikan pekerjaan itu
dalam waktu 6 jam. Jika ayahnya dan kakeknya menyelesaikan pekerjaan tersebut,
maka akan selesai dalam waktu 8 jam. Berapa waktu yang diperlukan Trisna,
ayahnya, dan kakeknya untuk menyelesaikan panenan tersebut, jika mereka bekerja
masing-masing?

………………………………………………………………………..

8.
Diketahui dua bilangan, dimana bilangan kedua
sama dengan enam kali
bilangan pertama setelah dikurangi satu. Bilangan kedua juga sama dengan
bilangan pertama dikuadratkan dan ditambah tiga. Carilah kedua bilangan
tersebut.

………………………………………………………………………..

9.
Seorang pengusaha memiliki modal sebesar
Rp420.000.000,00 dan membaginya dalam tiga bentuk investasi, yaitu
tabungan dengan suku bungan 5%, deposito berjangka dengan suku
bunga 7%, dan surat obligasi dengan pembayaran 9%. Adapun total
pendapatan tahunan dari ketiga investasi sebesar Rp26.000.000,00 dan
pendapatan dari investasi tabungan kurang Rp2.000.000,00 dari total
pendapatan dua investasi lainnya. Tentukan besar modal untuk setiap
investasi tersebut.

………………………………………………………………………..

10. Suatu
tempat parkir dipenuhi tiga jenis kendaraan yaitu, sepeda motor, mobil, dan
mobil van. Luas parkir mobil van adalah lima kali luas parkir sepeda motor, sedangkan
tiga kali luas parkir untuk mobil sama dengan luas parkir untuk mobil van dan
sepeda motor. Jika tempat parkir penuh dan banyak kendaraan yang terparkir
sebanyak 180, hitung banyak setiap kendaraan yang parkir.

………………………………………………………………………..

Latihan 4

—————————————————————————

1. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil
kebun Pak Yadi lebih sedikit 15
kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak
Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak
Ahmad adalah …

a. 90 kg

b. 80 kg

c. 75 kg

d. 70 kg

e. 60 kg

Jawab : a

2. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp70.000,00
dan harga 1 kg
mangga, 2 kg
jeruk, dan 2 kg
anggur adalah Rp90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp130.000,00, maka
harga 1 kg
jeruk adalah …

a. Rp5.000,00

b. Rp7.500,00

c. Rp10.000,00

d. Rp12.000,00

e. Rp15.000,00

Jawab : c

3. Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2
kali umur B. sedangkan dua tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan
umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun

a. 4

b. 6

c. 9

d. 12

e. 15

Jawab : c

4. Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga
toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus
membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis
II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan
2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II,
maka toko C harus membayar …

a. RP 3.500.000,00

b. RP 4.000.000,00

c. RP 4.500.000,00

d. RP 5.000.000,00

e. RP 5.500.000,00

Jawab : c

5. Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga
57.000,00 sedangkan Ade membeli 3
kg apel dan 5
kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya
membeli 1 kg
Apel dan 1 kg
Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang
diterima Surya adalah …

a. RP 24.000,00

b. RP 42.000,00

c. RP 67.000,00

d. RP 76.000,00

e. RP 80.000,00

Jawab : d

6. Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan
pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan dari jumlah
bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah …

a. 15

b. 20

c. 30

d. 35

e. 40

Jawab : e

7. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi
membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku
tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku
tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku
tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku
tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?

a.
Rp 6.000,00

b.
Rp 7.000,00

c. Rp
8.000,00

d.
Rp 9.000,00

e.
Rp 10.000,00

Jawab : c

8. Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah
mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah
apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3
buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah
apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah …

a.
Rp 700,00

b.
Rp 800,00

c. Rp
850,00

d.
Rp 900,00

e. Rp 1.200,00

Jawab : d

9. Jika {(x_o, y_o, z_o)}memenuhi
sistem persamaan , maka nilai z_o adalah …

–3
–2
–1
4
5

Jawab
: a

10. Diketahui sistem persamaan linear

. Nilai x + y + z = …

a. 3

b. 2

c. 1

Jawab : e

11. Penyelesaian dari sistem persamaan adalah …

a. x
= 5, y = 3, dan z = 1

b. x
= 4, y = –5, dan z = 1

c. x
= –3, y = 4, dan z = 1

d. x
= –5, y = 3, dan z = 2

e.
x = –5, y = 3, dan z = 1

Jawab : e

12. Jika suatu sistem persamaan linear mempunyai
penyelesaian x = 2 dan y = 1,
maka a² + b² = …

a.
2

b.
4

c.
5

d.
8

e. 11

Jawab : d

Latihan 5

—————————————————————————

1.
Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil
kebun Pak Yadi lebih sedikit 15
kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak
Badrun. Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak
Ahmad adalah …

a. 90 kg c.
75 kg e. 60 kg

b. 80 kg d.
70 kg

2.
Harga 2 kg
mangga, 2 kg
jeruk, dan 1 kg
anggur adalah Rp70.000,00 dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah
Rp90.000,00. Jika harga 2 kg
mangga, 2 kg
jeruk, dan 3 kg
anggur Rp130.000,00, maka harga 1
kg jeruk adalah …

a. Rp5.000,00 d.
Rp12.000,00

b. Rp7.500,00 e.
Rp15.000,00

c. Rp10.000,00

3.
Harga 2 buah pisang, 2 buah apel, dan sebuah
mangga adalah Rp 1.400,00. di toko buah yang sama harga sebuah pisang, sebuah
apel, dan 2 buah mangga adalah Rp 1.300,00, sedangkan harga sebuah pisang, 3
buah apel, dan sebuah mangga adalah Rp 1.500,00. Harga sebuah pisang, sebuah
apel, dan sebuah mangga di toko buah tersebut adalah …

a.
Rp 700,00 d.
Rp 900,00

b.
Rp 800,00 e. Rp
1.200,00

c.
Rp 850,00

4.
Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi
membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku
tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku
tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku
tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku
tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi harus membayar?

a.
Rp 6.000,00 d. Rp
9.000,00

b.
Rp 7.000,00 e. Rp
10.000,00

c.
Rp 8.000,00

5.
Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga
toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp 5.500.000,00 untuk pembelian 5
sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar RP 3.000.000,00 untuk
pembelian 3 sepeda jenis I dan 2 sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda
jenis I dan 2 sepeda jenis II, maka toko C harus membayar …

a. RP 3.500.000,00 d.
RP 5.000.000,00

b. RP 4.000.000,00 e.
RP 5.500.000,00

c. RP 4.500.000,00

6.
Jumlah tiga buah bilangan adalah 75. Bilangan
pertama lima lebihnya dari jumlah bilangan lain. Bilangan kedua sama dengan dari jumlah
bilangan yang lain. Bilangan pertamanya adalah …

a. 15 c.
30 e. 40

b. 20 d. 35

7.
Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan harga
57.000,00 sedangkan Ade membeli 3
kg apel dan 5
kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00. Jika Surya hanya
membeli 1 kg
Apel dan 1 kg
Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp 100.000,00, maka uang kembalian yang
diterima Surya adalah …

a. RP 24.000,00 d.
RP 76.000,00

b. RP 42.000,00 e.
RP 80.000,00

c. RP 67.000,00

8.
Ibu Juju membeli 4 saset
shampo Rejoice dan 3 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar Rp 4.250,00. dan
ibu Atun membeli 2 saset shampo Rejoice dan 2 saset shampo Sunsilk, ia harus membayar
Rp 2.400,00. jika Ibu Salmah membeli 4 saset shampo Rejoice dan 1 shampo
Sunsilk, maka ia harus membayar …

a. Rp 3.150,00 d.
Rp 3.750,00

b. Rp 3.250,00 e.
Rp 4.000,00

c. Rp 3.550,00

9.
Empat tahun yang lalu umur Pak Ahmad lima kali umur Budi. Empat belas
tahun yang akan datang umur Pak Ahmad akan menjadi dua kali umur Budi. Jumlah
umur Pak Ahmad dan umur Budi sekarang adalah… tahun

a. 54 c.
40 e. 34

b. 44 d. 36

10.
Usia A
sekarang 8 tahun lebih tua dari usia B, sedangkan 4 tahun yang lalu usia B sama
dengan dua pertiga dari usia A. Usia B sekarang adalah… tahun

a. 14 c.
20 e. 28

b. 17 d. 25

11.
Diketahui tiga tahun lalu, umur A sama dengan 2 kali umur B. sedangkan dua
tahun yang akan datang, 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun. Umur A sekarang adalah … tahun

a. 4 c.
9 e. 15

b. 6 d. 12

12.
Budiman mengerjakan seluruh soal yang banyaknya 70 soal. Sitem penilaian adalah
jawaban yang benar diberi skor 2 dan yang salah diberi skor –1 . Jika skor yang
yang diperoleh Anto sama dengan 80, maka banyaknya soal yang Budiman jawab
salah sama dengan….

a. 40 c.
30 e. 20

b. 35 d.
25

Aqila Course

Soal Matematika Wajib SMA – Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Download di Aplikasi Lebih Mudah

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan