Download di Aplikasi Lebih Mudah
Rapi dan Siap Cetak, Klik Disini untuk Download Aplikasi
Modul untuk Bimbel / Materi Belajar Sekolah TK SD SMP SMA lebih lengkap dan lebih mudah di Aplikasi Produk Aqila Klik Disini untuk Download
Berikut Link-link Soal-soal SMA Matematika Wajib
- Nilai Mutlak 1
- Nilai Mutlak 2
- SPLTV
- Fungsi
- Fungsi Invers
- Trigonometri
- Induksi Matematika
- Program Linier
- Matrik
- Transformasi Geometri
- Barisan dan Deret
- Limit Fungsi
- Turunan
- Integral
- Dimensi Tiga
- Statistika
- Peluang
—————————————————————————
TURUNAN
————————————————————————–
Turunan fungsi f di x yang ditulis dengan notasi f
′(x)
f ′(x) =
jika f(x) = axn, maka f ′(x)
= anxn – 1
Untuk u dan v masing-masing fungsi x, u’ turunan
dari u dan v’ turunan dari v dan k bilangan konstan
maka berlaku sebagai berikut.
y = u ± v, maka y’ = u’ ± v’
y = k u, maka y’ = k u’
y = u v, maka y’ = u’v + uv’
y =
Turunan Fungsi Trigonometri
1. Jika y = sin x, maka y’ = cos x
2. Jika y = cos x, maka y’ = –sin x
3. Jika y = tan x, maka y’ = sec2 x
4. Jika y = cot x, maka y’ = –cosec2
x
5. Jika y = sin U, maka y’ = U’ cos U
6. Jika y = sinn U, maka y’ = n sinn –
1 U cos U’
7. Jika y = sec x, maka y’ = sec x tan
x
8. Jika y = cosec x, maka y’ = cosec x cot
x
Persamaan
Garis Singgung pada Kurva
Persamaan garis singgung pada kurva di titik (x1,
y1) dengan gradien m di mana m = f ′(x)
adalah :
y – y1 = m(x – x1)
Fungsi f(x) dikatakan naik jika f ′(x)
> 0, dan fungsi f(x) dikatakan turun jika f ′(x)
< 0.
Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f ′(x)
= 0
Jenis titik
stasioner ada 3 yaitu:
a. titik balik
maksimum,
b. titik balik
minimum, dan
c. titik belok
horizontal.
Untuk menggambar grafik y = f(x) dapat
dilakukan dengan cara sebagai berikut.
a. Menentukan titik-titik
potong grafik fungsi dengan sumbu-sumbu koordinat.
b. Menentukan titik-titik
stasioner dan jenisnya.
c. Menentukan titik-titik
bantu (menentukan nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar
negatif).
Turunan kedua dari suatu fungsi y = f(x)
adalah turunan dari turunan pertama dan diberi lambang:
y” = f ′′(x)
=
Dari suatu lintasan s = f(t), maka berlaku:
kecepatan = v =
percepatan = a
=
Teorema
L’Hopital
Penggunaan
turunan untuk menghitung bentuk-bentuk tak tentu limit fungsi dikenal sebagai
Teorema L’Hopital. Misal f(x) dan g(x) adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel.
Jika g′ ≠
0 untuk setiap x ≠ a dan jika
Apabila
dengan menggunakan turunan kedua
seterusnya. Sehingga diperoleh nilai limitnya.
Latihan 1
—————————————————————————
1. Dengan
menggunakan konsep limit fungsi, tentukan gradien garis singgung fungsi berikut.
a. f(x)
= 3x2 – 2x + 1
b. f(x)
= x3 – x
c. f(x)
= x3 – x–3
d. f(x)
= 2(1 – x)2
e. f(x) =
2. Tentukan
persamaan garis singgung dan persamaan garis normal di titik dengan absis x = 1 pada setiap fungsi berikut. Petunjuk: carilah
gradien persamaan garis singgung dengan
menggunakan limit fungsi.
a. f(x)
= 2x
b. f(x)
= 2x2
c. f(x)
= (2x – 1)3
d.
f(x)
=
d.
f(x)
=
3. Garis
k menyinggung fungsi f(x) di titik P(a, b). Tentukan titik singgung P tersebut pada masing – masing garis singgung dan fungsi berikut :
a. Garis
k: 2x – 4x + 3 = 0 menyinggung fungsi
f(x)
= 2x2
b. Garis
k: –x + 2y – 3 = 0 menyinggung fungsi
f(x)
= –4x2 + 2x
c. Garis
k: x – y = 0 menyinggung fungsi f(x) =
d. Garis
k: 2x – y – 5 = 0 menyinggung fungsi
f(x)
= x3 – 10x
e. Garis
k: –2x + y – 3 = 0 menyinggung fungsi
f(x) =
4. Dengan
menggunakan konsep turunan, tentukan turunan dari fungsifungsi berikut.
a. f(x)
= x–3
b. f(x)
= (2x + 1)–5
c. f(x)
= x3(2x + 1)5
d. f(x)
=
e. f(x)
=
f. f(x)
=
g. f(x)
=
h. f(x)
=
i. f(x) = 2x2(–3x + 1)3
j. f(x) =
5. Tentukan
persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(–1, 1) pada masing-masing fungsi berikut. Petunjuk: carilah gradien persamaan
garis singgung dengan menggunakan konsep
turunan.
a. f(x)
= (x + 2)–9
b. f(x)
=
c. f(x) = –x3(x + 2)–2
d. f(x) =
e. f(x) =
Latihan 2
—————————————————————————
1. Tentukan
turunan kedua fungsi-fungsi berikut.
a. f(x)
= 3x – 2
b. f(x)
= –2x2 – x
c. f(x)
= –x4 + 2x2 – 4
d. f(x)
= (3x – 2)2
d. f(x)
=
2. Tentukan
titik balik fungsi-fungsi berikut!
a. f(x)
= x2 – 2x
b. f(x)
= –
c. f(x)
= x3 – x
d. f(x)
= x3 – 6x2 – 9x + 1
e. f(x)
= x4 – x2.
3. Tentukan
titik belok fungsi-fungsi berikut!
a. f(x)
= x2 – 2x
b. f(x)
= –
c. f(x)
= x3 – x
d. f(x)
= x3 – 6x2 – 9x + 1
e. f(x)
= x4 – x2.
4. Analisis
dan sketsa bentuk kurva dari fungsi-fungsi berikut dengan menunjukkan interval fungsi naik/turun, titik maksimum/minimum dan titik belok!
a. f(x)
= x2 – 2x
b. f(x)
= x3 – x
c. f(x)
= x4 – x2
d. f(x)
=
e. f(x)
=
5. Analisis (fungsi naik/turun, maksimum/minimum, titik belok) kurva
dari suatu fungsi berdasarkan sketsa
turunan pertamanya berikut.
6. Seorang
anak menggambar sebuah kurva tertutup setengah lingkaran dengan diameter 28 cm. Lalu, dia berencana membuat sebuah bangun segi empat di dalam kurva tersebut dengan masing-masing titik sudut
segi empat menyinggung keliling kurva.
a. Sketsalah
kurva tertutup setengah lingkaran tersebut.
b. Buatlah
segi empat yang mungkin dapat dibuat dalam kurva.
Sebutkanlah
jenis-jenis segi empat yang dapat dibuat.
c. Hitunglah
luas masing-masing segi empat yang diperoleh.
d. Segi
empat yang manakah yang mempunyai luas terbesar? Carilah luas segi empat terbesar yang dapat dibuat dalam kurva tersebut dengan menggunakan konsep differensial.
7. Sebuah
segi empat OABC dibuat pada daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y dan kurva fungsi y = (x – 1)2. Jika O adalah titik asal
koordinat, A pada sumbu x, B pada kurva dan C
pada sumbu y maka tentukanlah persamaan
garis singgung dan persamaan garis normal di titik B agar luas OABC maksimum. Sketsalah permasalahan di atas.
8. Seorang
karyawan berencana akan tinggal di rumah kontrakan setelah dia diterima bekerja di sebuah pabrik. Untuk menghemat biaya
pengeluaran, ia berharap dapat tinggal di
kontrakan yang tidak jauh dari tempat dia bekerja
dan uang sewa kontrakan yang juga mendukung. Jika dia tinggal x km dari tempat bekerja maka biaya transportasi adalah c rupiah
per km per tahun. Biaya kontrakan adalah
Dapatkah kamu tentukan biaya minimum pengeluaran
karyawan tersebut?
Latihan 3
—————————————————————————
1.
Gunakan konsep limit untuk menentukan turunan fungsi-fungsi
berikut.
a. f(x)
= sin 2x
b. f(x)
= cos (1–3x)
c. f(x)
= tan x
d. f(x)
= 2x4 – 7
e. f(x)
= 5x3 – 5x
f. f(x)
= 2
2.
Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas dengan kecepatan awal
10 m/detik. Kedudukan peluru setelah t detik memenuhi persamaan h(t)
= 60t – 7t² dengan h(t) adalah tinggi peluru yang
diukur dalam meter.
a. Tentukan
kecepatan peluru pada saat 3,5 detik.
b. Kapan peluru
berhenti?
3.
Diketahui f(x) =
=
4.
Tentukan interval yang membuat fungsi-fungsi berikut merupakan
fungsi naik atau fungsi turun.
a. f(x)
= 5 + 8x – 2x2
b. f(x)
= 2x2 – 8x + 9
c. f(x)
= 9 + 3x – 4x2
d. f(x)
= x3 – 18x2 + 10x – 11
e. f(x)
= 10 – 12x + 6x2 – x3
f. f(x)
= x4 – 24x2 + 10x – 5
5.
Sebuah kotak tanpa tutup, alasnya berbentuk persegi dengan sisi x
cm, volumenya 32 cm3. Jika kotak tersebut terbuat dari karton,
a. tunjukkan bahwa luas karton yang diperlukan
untuk membuat kotak itu L(x) = x2 +
b. tentukan ukuran kotak agar karton yang
digunakan sesedikit mungkin.
6.
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut.
a. y = (4x2
+ 5x) (2x2 – 6x + 1)
b. y =
c. f(x) = (x2
+ 8)12
d. f(x) =
7.
Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi trigonometri berikut.
a. f(x) = cos (x2
+ 1)
b. f(x) = 6 cosec x
c. f(x) =
d. f(x) = x2
sec x
8.
Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x2
– 5x + 7 yang tegak lurus garis x + 3y = 9.
9.
Tentukan bilangan cacah yang jumlahnya 16 agar hasil kali salah
satu dengan kuadrat bilangan lainnya menjadi maksimum.
10.
Suatu persegi panjang diketahui keliling = (2x + 24) cm dan
lebar = (8 – x) cm. Agar luasnya maksimum, hitunglah panjang, lebar, dan
luas persegi panjang.
Latihan 4
—————————————————————————
1.
Jika f(x) =
a. ¼ d. 7/9
b. 5/6 e. 5/9
c. ½
2.
Diketahuif(x) =
a. 1/3 d. 3/2
b. 2/3 e.
3
d. 1
3.
a. 3x2
+
b. 3x2
–
c. x2
+
d. x2
–
e. 3x2
–
4.
Titik balik maksimum kurva y =
a. (–3 , –36) d. (3 , –18)
b. (–1 , –5
(3 , 0)
c. (1 , 1
5.
Ditentukan f(x) =
turunan kedua dari f(x). Nilai dari f “(–2) adalah
….
a.
b.
c.
6.
Turunan pertama f(x) = (2x – 1) cos (3x +
1) adalah ….
a. (2x – 1)
sin (3x + 1) + 2cos (3x + 1)
b. (2x – 1)
cos (3x + 1) – 2 sin (3x + 1)
c. 2 sin(3x +
1) + 2(6x – 3) cos (3x + 1)
d. 2 cos (3x +
1) + (2x – 1) sin (3x + 1)
e. 2 cos(3x +
1) – (6x – 3) sin (3x + 1)
7.
Turunan pertama fungsi f(x) = cos5 (4x –
2) adalah ….
a. 5 cos4
(4x – 2) sin (4x – 2)
b. –5 cos4
(4x – 2) sin (4x – 2)
c. – 20 cos4
(4x – 2) sin (4x – 2)
d. 10 cos3
(4x – 2) sin (8x – 2)
e. –10 cos3
(4x – 2) sin (8x – 2)
8.
Pada daerah asal 0 < x < 2, grafik fungsi y = x3
– 2x2 + 1 bersifat ….
a. selalu naik
b. selalu turun
c. naik, lalu
turun
d. turun, lalu
naik
e. turun naik
berulang-ulang
9.
Luas semua sisi balok 96 cm2. Jika alasnya berbentuk
persegi, paling besar balok itu dapat dibuat dengan volume … cm3.
a. 0
b. 54
c. 64
d. 64
e. 80
10.
Diketahui luas lingkaran merupakan fungsi dari kelilingnya. Jika
keliling sebuah lingkaran adalah x, laju perubahan luas lingkaran
terhadap kelilingnya adalah ….
a. πx d.
b. 2πx e.
c.
11.
Turunan pertama fungsi f(x) = cos3 (5 – 4x)
adalah ….
a. –12 cos2
(5 – 4x) sin (5 – 4x)
b. 12 cos (5 – 4x)
sin (5 – 4x)
c. 12 sin2
(5 – 4x) sin (5 – 4x)
d. –6 sin (5 – 4x)
sin (10 – 8x)
e. 6 cos (5 – 4x)
sin (10 – 8x)
12.
Nilai maksimum dari f(x) = x3 – 6x2
+ 9x pada interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah ….
a. 16 d. 1
b. 4 e. 0
c. 3
13.
f(x) = x3 – 4x2 + 4x +
6 naik pada interval ….
a. –2 < x <
– 2/3
b. 2/3 < x <
2
c. x <
–2 atau x > 2/3
d. x <
2/3 atau x > 2
e. x < –
2/3 atau x > 2
14.
Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 – 6x2
– 48x dalam interval –3 < x < 4 adalah ….
a. –160 d. –99
b. –155 e. –11
c. –131
15.
Turunan pertama dari f(x) =
a. 0,000024 d. 0,024
b. 0,00024 e. 0,24
c. 0,0024
16.
Turunan dari y = (1 – x)2 (2x + 3)
adalah ….
a. (1 – x)
(3x + 2)
b. (x – 1)
(3x + 2)
c. 2(1 + x)
(3x + 2)
d. 2(x – 1)
(3x + 2)
e. 2(1 – x)
(3x + 2)
17.
f(x) =
a. –5 < x <
– 1
b. x < –
1
c. x < 1
d. 1 < x <
5
e. x < 1
atau x > 5
18.
Kurva y = x3 – 6x2 + 9x
+ 1 turun pada interval ….
a. x ≤ 1
atau x ≤ 3
b. –2 ≤ x ≤
1 atau 3 ≤ x ≤ 6
c. 1 < x <
3
d. 1 ≤ x ≤
3
e. –1 ≤ x ≤
1
19.
Nilai minimum relatif f(x) =
a. –5
b. –2
c. –1/3
d. 1/3
e. 4
20.
Jika f(x) =
a. –2
b. –1
c. 0
d. 1
e. 2
21.
Jika diketahui f(x) = 3x3 – 2x2
– 5x + 8, nilai dari f ′(2) adalah ….
a. 13 d. 33
b. 21 e. 49
c. 23
22.
Turunan dari f(x) =
= ….
a.
b.
c.
23.
Diketahui fungsi h(x) = x2 + 3x,
maka h(i + t) – h(t) adalah ….
a. 2i + 3 d. t2
+ 3t
b. 2t + 4 e. t2
+ 5t
c. 5t2
24.
Rumus untuk f ′(x) jika f(x) = x –
x2 adalah ….
a. 1 – x d. x2 – x3
b. 1 – 2x e. x – 2x2
c. 1 – 2x3
25.
Fungsi f(x) = x3 – 6x2
+ 9x + 2 turun untuk ….
a. 2 < x < 6 d. 0 < x < 2
b. 1 < x < 4 e. 1 < x < 2
e. 1 < x < 3
26.
Grafik dari f(x) = x3 – x2
– 12x + 10 naik untuk interval ….
a. 3 < x < –2
b. x < 2 atau x >
–3
c. –2 < x < 3
d. x < –3 atau x >
–2
e. x < –2 atau x >
3
27.
Grafik fungsi f(x) = x (6 – x)2
akan naik dalam interval ….
a. x < 0 atau x >
6 d. x > 6
b. 0 < x < 6 e. x < 6
c. x < 2 atau x >
6
28.
Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x3
– 6x2 + 9x + 2 turun pada interval ….
a. –1 < x < 2 d. 1 < x < 0
b. –2 < x < 1 e. 1 < x <
4
c. 1 < x < 3
29.
Titik-titik stasioner dari kurva y = x3 –
3x2 – 9x + 10 adalah ….
a. (–1, 15) dan (3, –17)
b. (1, –1) dan (3, –17)
c. (–1, 15) dan (–3, –17)
d. (3, –17) dan (–2, 8)
e. (1, –1) dan (–3, –17)
30.
Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4x di
titik yang absisnya 1 adalah ….
a. x – y – 2 = 0 d. x + 2y + 1 = 0
b. x + y + 2 = 0 e. 2x – 2y + 1 = 0
c. 2x + y + 1 = 0
31.
Persamaan garis singgung kurva y = x2 – 4
yang tegak lurus garis x – 2y + 4 = 0 adalah ….
a. 2x + y + 5 = 0 d. x + y + 2 = 0
b. x + 2y + 5 = 0 e. 2x – y – 5 = 0
c. x – 2y – 5 = 0
32.
Turunan dari f(x) = 2 sin 5x adalah f ′(x)
= ….
a. 2 cos 5x d. 5 cos 5x
b. 10 cos 5x e. –2 cos 5x
c. –10 cos 5x
33.
Jika f(x) = sin2 x, maka nilai x
yang memenuhi
f ′(x) = ½ adalah ….
a. π d.
π/6
b. π/3 e. π/12
c. π/4
34.
Jika f(x) = 2 sin x + cos x, maka f
′(π/2 ) = ….
a. –1 d. –2
b. 2 e.
0
c. 1
35.
Jika y = cos 3/x, maka dy/dx = ….
a. –3 sin
–
b. –
c.
36.
Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x)
= (x3 – 1)2 dalam interval –1 < x < 1 mempunyai nilai
minimum dan maksimum berturut-turut adalah ….
a. –4 dan 0 d. 0 dan 2
b. –1 dan 2 e. 0 dan 4
c. 2 dan 4
37.
Fungsi f(x) yang ditentukan oleh f(x)
= x3 + ax2 + 9x – 8 mempunyai nilai
stasioner untuk x = 1. Nilai a adalah ….
a. –6 d. 2
b. –4 e. 4
c. –2
38.
Nilai maksimum dari y = x3 – 3x +
2, pada interval –2 < x < 2 adalah ….
a. 6 d.
3
b. 5 e.
2
c. 4
39.
Jumlah dua bilangan x dan y adalah 96. Jika x3y
maksimum maka nilai x adalah .…
a. 30 d. 20
b. 25 e. 15
c. 24
40.
Diketahui keliling suatu persegi panjang (2x + 20) cm dan
lebarnya (8 – x) cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka panjangnya
adalah ….
a. 3 cm c. 4 ½ cm
b. 3 ½ cm d. 9 cm
c. 10 cm
